1樓：
你這問題提得就不太對……
首先實數系的連續性是什麼，這本身就是個不明確定義的東西
一般我們說連續，指的是對映的連續，比如用ε語言定義連續函式：
0 \quad \exists \delta>0 \quad \forall x \; \quad \bigg[ d_\left( x,x_ \right)<\delta \Longrightarrow d_\left( f\left( x \right),f\left( x_ \right) \right)<\varepsilon \bigg]" eeimg="1"/>
或者用拓撲一點的語言說，就是 的任何鄰域 ，存在 的鄰域 ，使得它在對映 下的像包含於
直觀點的幾何化說法就是，連續對映把乙個連通集對映成另乙個連通集
實數系的連續性是啥？實數系的完備性和連續性是什麼關係？
比如實數集的任何乙個緊緻子集都是完備的，像集合 就是完備的，但它顯然不符合你印象中的連續
或許比較符合集合的所謂「連續」的性質，應該是連通或道路連通之類的？
亦或者你想說連續統？那和單純的完備性也是兩回事，因為除了完備性還需要連通性
2樓：
首先，這個不是乙個好問題。很多表述都是模糊的，比如「巨集觀」這個詞，數學中並沒有這種說法。
談一下實數完備吧，要從基本的ε語言學起，才不會弄亂。完備這個詞是乙個測度的詞彙，需要一些實分析的知識。這裡說實數完備，其實也是給定了乙個測度，就是兩個數的絕對值作為測度。
那麼這個度量空間完備，其實也就是說的cauchy收斂準則。
至於和連續函式的聯絡，你回想證明連續性時，給定乙個ε,δ，在δ內取值，這裡成立的原因用到了完備性。
為什麼稱戴德金定理為實數的連續性定理？
清雅白鹿記 答 因為通過它可以證明實數的連續性。實數完備性六大基本定理中為什麼沒有戴德金定理？答 不知道，不同書不同的描述。數學分析中，戴德金定理處於處於什麼樣地位？答 非常基礎的地位。由於正整數係對減法不封閉，產生了整數系。整數系又對除法不封閉，產生了有理數系。有理數系雖然對四則運算封閉，但是它卻...
實數的完備性有沒有什麼更具體直觀的含義？
180天後第2次修改 連續性就是完備性的直觀。任何基本實數列存在極限意味著極限運算可以自由進行，這是有理數域中辦不到的。而極限又是微積分的基本工具。所以說乙個完備的數域才是微積分能施展開的合適場所。比如，由於有理數域存在空隙，所以定義在有理數域上的沒有連續函式，那麼連續函式的乃至整個微積分的理論都無...
實數是乙個沒有大小的點，為什麼數軸可以無窮長呢？
MAN 以下回答我考慮了兩天。總算理出頭緒。不要小看題主的問題，我覺得題主的懷疑很好，下面的回答也很好。因為體現了乙個共同的問題 忽略了 數軸 或者叫實數軸 的定義的三要素之一 單位長度。規定了單位長度後，數1就與單位長度1對應，以此類推。單位長度可大可小，隨便定義。簡單點說，在定義單位長度之前，數...