1樓：清雅白鹿記
答：因為通過它可以證明實數的連續性。實數完備性六大基本定理中為什麼沒有戴德金定理？
答：不知道，不同書不同的描述。數學分析中，戴德金定理處於處於什麼樣地位？
答：非常基礎的地位。
由於正整數係對減法不封閉，產生了整數系。整數系又對除法不封閉，產生了有理數系。有理數系雖然對四則運算封閉，但是它卻不連續，所以產生了實數系。
實數具有連續性（戴德金定理可以證明），加上實數對四則運算封閉，所以實數是數學分析研究的最重要也是最直觀的物件。
實數完備性是不是還有其他的定理？
答：確界定理、單調有界、Cauchy準則、閉區間套定理、緻密性定理、有限覆蓋定理、聚點定理
2樓：翔譽
先回答題主的問題，再做簡單的介紹。
Q:為什麼稱戴德金定理為實數的連續性定理？
A:實數定義的方式有很多，常見的有Dedekind構造，Cantor構造和無盡小數構造。在講連續性（準確來說是完備性，complete）定理之前，我們應該先確定使用的是哪一種構造。
如果使用的不是Dedekind構造，那麼我們稱Dedekind定理刻畫了實數的完備性，因為這個定理的成立依賴於實數的完備性，它在有理數域上並不成立（比如，我們考慮由不等式與\sqrt" eeimg="1"/>分別確定的兩個有理數集合，左邊集合沒有最大值，右邊集合沒有最小值，但它們覆蓋了整個有理數域）。
如果使用的是Dedekind構造，我們則應該稱這些文字為定義而非定理（它作為定義和定理時的表述稍有不同），它實際上給出了實數的乙個構造，我們通過這個構造得到了實數，進而得以刻畫其完備性。
Q:實數完備性六大基本定理中為什麼沒有戴德金定理？
A:六大基本定理只是個籠統的叫法，我們只是從歷史上學者們得到的若干描述實數系完備性的定理挑了六個而已。至於它們包不包含Dedekind，為什麼常見的系統不包含Dedekind，這是乙個無聊的問題。
Q:數學分析中，戴德金定理處於處於什麼樣地位？
A:一般地，我們將它作為對實數的構造。
Q:實數完備性是不是還有其他的定理？
A:是的。隨便舉一些：單調有界，閉區間套，有限覆蓋，聚點定理，Cauchy審斂，緻密定理，確界原理。
在歷史上，微積分的基礎不嚴謹一直是被人詬病的一點，對於先有極限還是先有實數，人們一直爭論不休。現在我們一般認同如下的構造順序：
自然數（Peano公理）—整數環（環公理）—有理數域（域公理）—構造—實數域（從實數的構造中，我們抽像出了實數公理）—實數列的極限
其中構造一詞，在Dedekind構造中是通過定義分割進行的，在Cantor構造中是通過定義有理數列的極限進行的，在無盡小數構造中是通過定義無盡小數進行的，其中前兩種是我們普遍使用的構造方式。
定義（Dedekind實數）：設Q是全體有理數的集合，X是Q的乙個子集，如果X滿足以下三個條件：
i）XQ且X不為空
ii）若，則
iii)若,則必有，使得
則稱X是乙個實數
按照這個定義，乙個實數實際上是有理數的乙個子集，這個子集沒有最大數，其邊界即為我們通常認為的實數。我們可以證明，這個構造和Cantor的構造是同構的，還可以用這個定義去證明那六個實數系基本定理，因為這個定義提供了完備性。
至此我們便可以抽象出實數的公理系統：
1.域公理
2.全序公理
3.阿基公尺德公理
4.完備性公理（有上界非空集合必有上確界）
這些公理又牽扯到一系列定義，我們這裡就不再贅述了。
3樓：
一，戴德金定理與其他6個定理等價。可以很容易地用戴德金定理證明單調有界定理和區間套定理，也可以用單調有界定理證明戴德金定理。（參考《數學分析簡明教程（第二版）》上冊，作者鄧東皋，尹小玲）
戴德金定理很直觀地刻畫了實數連續性，用戴德金自己的話說：把數系分割成左右兩部分，必有唯一的分點（數）。
二，所謂六大定理，在此之前我並不知道，我所接觸的數學分析書籍也並沒有稱之為六大定理。（也可能是我孤陋寡味）
三，數學分析中，戴德金定理處在很基礎的位置。因為戴德金定理的證明幾乎可以說只用了實數的定義。
學習數學分析，肯定要一開始就講極限，其他6個定理的表述都要用到極限，更別說證明了。但是極限又必須建立在實數域上。要講實數域，就必然需要證明其完備性和連續性。
這是個雞生蛋，蛋生雞的問題。到底是先講極限，還是先講實數域？極限必須建立在實數域上，實數域連續性的證明又要用到極限。
這時候，大多數教材的處理是，先講極限（此時的極限理論並沒有建立在有力的實數理論之上），然後證明一些定理（就比如你所說的6大定理），之後反過來證明實數的完備性，連續性。
然而，我所學的教材就比較有智慧型了。先在緒論中證明戴德金定理，從而有了連續統的概念，之後引入極限。因為戴德金定理的證明不需要極限的概念，所以就沒有這些邏輯上的問題。
如何直觀地理解實數的戴德金分割定義？
學半 關於直觀地理解實數，莫里斯克萊因教授說 1930年以後 西方數學 的全部發展還留下來兩個沒有解決的大問題 去證明不加限制的經典分析與集合論的相容性，以及在嚴格直觀的 幾何 根基上去 重新 建立數學，或者去確定這種途徑的限度。在這兩個問題中，困難的根源都在於無窮集合和無限程式中所用到的無限 in...
為什麼實數系的完備性定理可以證明閉區間上連續函式的性質？
你這問題提得就不太對 首先實數系的連續性是什麼，這本身就是個不明確定義的東西 一般我們說連續，指的是對映的連續，比如用 語言定義連續函式 0 quad exists delta 0 quad forall x quad bigg d left x,x right delta Longrightarr...
為什麼研究生大多稱自己的導師為老闆？
從專業來看，讀研讀博，估計最苦逼的就是工科學生了，往往需要經常泡在實驗室裡。工科類專業，專案多，課題多，某些有本事的導師能拿到多個專案，甚至還可以和外面企業合作，拿到一些商業性應用專案。這個時候，就是導師去拿專案，拿到後就給自己的學生做，給學生一些補貼之類，導師成了 專案老闆 而學生給導師打工，師生...