1樓：
正定陣我們預設它對稱。
首先你需要如下引理：
有限維實（復）向量空間上的內積存在。
這個引理，說實話不是那麼平凡的事情。因為同為區域性域的Q_p這個事情就不對。
證明是構造性的，實數域R上任取一組基，基下的座標為(x_i)，把它們平方相加就完事了。
其次任給乙個正定陣A，任給乙個內積（—，—），乙個新內積可以定義為（—，A—）
因此我們得到乙個正定陣到內積的對映。可以驗證這是雙射。
2樓：陸的小迷弟
這個命題可以這麼表述，正定矩陣的合同類與實線性空間上的內積是一一對應的。
理由如下：
給定乙個n維實線性空間V，V上的乙個內積就是V上的乙個二元函式f，滿足雙線性性，對稱性，正定性。從而，在V的給定一組基下，f在這組基下的度量矩陣是乙個正定矩陣。而更換一組基的話，f在新的基下的度量矩陣是與原來的度量矩陣合同的。
從而，V上的每乙個內積會對應乙個正定矩陣的合同類。
反之，任給乙個正定矩陣，可以在給定一組基下定義V上的乙個內積，並且對於該正定矩陣的合同類的任意乙個矩陣，可以選取V中適當不同的基，使得定義的內積是同乙個。
綜上，可以認為，實線性空間上的內積和正定矩陣的合同類是一一對應的。
3樓：天下無難課
這問題沒太看明白，先答一下啥是正定矩陣，以及與內積的關係。
對於乙個矩陣式y=Ax，在一般情況下，y與x往往都是不同向，不共線的。但是，y可能與x的方向偏差侷限在一定範圍內，比如y始終分布在x左右90°範圍以內。如果出現這種情況，y與x的內積就始終＞零，即有x·y＞0。
如果無論x取何值，y與x都存在這種關係，則y處在這種圍繞x「正面」分布的情況就叫「正定」，而這一切都取決於A，能做到這點的這個A就叫正定矩陣。
請注意，正定的關係的直觀畫面是y始終分布在x左右90°以內。這種分布在用兩個向量的內積來表達時就是內積始終大於零。
為了凸顯A的作用，則用Ax來代替y，就有了xAx＞0的表示式。
如果y的分布除了「正面」之外，還擴充套件到了「正橫」，就是y與x正交，這種情況就叫半正定，A就叫半正定矩陣，表示式xAx≥0。
反過來，如果y始終分布在x的反向左右90°的範圍內，則成為負定，表示式xAx＜0；若負定擴充套件到正橫，包括了左右90°，則為半負定，就有xAx≤0。
很明顯，在定義正定、負定時，y與x的內積是被用到的，是用這個內積的正負來區分「定」的正負的。但不知道這一一對應指的是啥。
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