1樓：
我想說，即使是在今天，」一一對應即相等」也僅僅是比較兩個集合大小的一種方式。今天按照定義的不同同時存在著多種不同的比較集合大小，上面嚴格來說是按基數來進行比較，即便如此任何兩個集合都可以比較大小這事遠非顯然。（沒記錯要用選擇公理或者良序原理吧，這個康托本人應該不會證）。
其它比較方法：
對於兩個序數，直接比較大小，例如 ω＜ω＋1，但按基數對比二者「相等」；此時任何兩個序數可以比較大小；
對於R^n的兩個子集，按照lebesgue測度比較大小，一樣會出現整體＝部分的情況；承認選擇公理會有不可測集合的問題，導致並非所有子集都能比較大小；承認決定性公理就所有集合可測都能比較大小；
同樣對於R^n的子集，按照「綱」來比較，約定第二綱集大於第一綱集，需要注意這個方法有時候和上乙個得出不同結論。這個比較的理由是「第一綱集總會有漏的地方」，因此第二綱集會更好的填滿全空間；
（這是我現場造出來的概念）對於拓撲空間，按照最小稠密子集的基數來比較大小，甚至會出現整體小於部分這種情況，雖然我不知道這個概念是否能給出來有意思的推論，但這依然是乙個嚴格定義的概念，並且我堅持認為刻畫了某種意味下的拓撲空間的「大小」。
（另乙個我造的）對於兩個集合，按馮諾依曼宇宙，以「包含該集合的最小的那個V_a所對應的序數」為標準來比較大小，這個會出現｛｝＞｛a,b｝，但注意按照基數，前者是一元集合，後者是二元集合，所以按基數對比會反過來。
所以你看，在今天大部分人是同時接受多種不同的比較大小的方式，根據自己具體研究的問題選取乙個合適的定義，找不到就自己造乙個。做數學研究的人自己造定義再正常不過了，我上面就隨手造了倆，無非是我造的可能沒啥用，或者說「不夠有趣」。康托這一套主要應用在集合論範圍，除了集合論以為真正關心的人不太多，比如實際上很多人並不知道基數的嚴格定義因為不關心。
可能有點偏題吧，不過在今天嚴肅的對待數學哲學的人應該不多，都是想用哪個用哪個（當然這本身也是一種哲學理念。這算實用主義嗎？不懂哲學）不過高斯那個年代的人不好說。
2樓：MAN
人們必須要正視、避免並解決基礎概念的矛盾。涉及到「無窮」這一概念，很多矛盾不可避免的產生了。對「無窮」基本概念有誤解，就會衍生出很多似是而非的結論，其中不乏經典的描述：
整數與自然數(一樣多)
無理數比有理數(多)
數軸上一刀砍下去，砍中有理數的概率是0
首先，這裡的「多、少」指的是個數。起碼描述的是「個數」的概念。
因為這裡的個數都是「無窮大」，所以本質上是「無窮大」大小的比較。
沒有比它還大的(高等數學對∞的定義的白話版)
釜底抽薪：如果兩個無窮大能比較出大小，那麼「小」的那乙個符合無窮大的定義麼？
無窮大的定義決定了：無窮大比較大小存在內在邏輯矛盾。⑴
這是(有窮世界的)基本公理。為何不能用於無窮？要說出道理來才能令人信服。
不適用是因為與無窮大的定義相矛盾。
「整體大於部分」的本質是大小的比較，因為⑴無窮大不能比較大小，所以整體大於部分這一原則對無窮大不適用。如果進行比較，結果就是直接與無窮大的定義矛盾。
整體大於部分不僅僅是直覺，也是顛撲不破的真理。如果不是與無窮大的概念存在矛盾，人們就可以直接引用這一原則對無窮集合進行比較。
康托爾比較的是集合的勢，是集合的某乙個特性，為何偏要與元素個數等同呢？
順帶提個疑問。
π=3.14159…的定義是乙個無限不迴圈小數，是乙個無理數。有如下推理：
假設3.14159…(無限不迴圈小數)是乙個存在的無理數，則可以構造乙個新的數，對應於無限不迴圈小數3.14159…，把小數點去掉，表示為314159…必存在、且是乙個整數。
即整數集存在乙個數與無理數3.14159…對應。
無理數都是無限不迴圈小數，則所有無理數去掉小數點，都存在乙個與之對應的整數。
根據康托爾集合基數理論，則整數集的基數不小於無理數集。這個結論與目前已知的結論相反。
3樓：楓無諺
說白了康托不認為部分「等於」全體在無窮群裡是矛盾的。
高斯未必不知道這一點，只不過他覺得矛盾，所以就沒有後來的康托理論了。
4樓：被子飛了
沒有矛盾，高斯等人覺得，承認實無窮會帶來「部分等於整體」這個謬論，所以不想承認。康托覺得有必要對這些客觀存在的可表述數學結構進行研究，就拋棄了以往的成見，甚至「部分等於整體」本身就可作為無窮集合的定義。
大概就是這樣的：「部分等於整體」有啥問題？沒啥問題嘛，當然，對於某個有窮集合，比如 ，是絕不會「部分等於整體」的，現實中也不會有這種東西存在，但是我們研究的也不是現實中的東西啊，就像現實裡也沒有真正的圓或者長度為 的線段一樣，既然你能研究只存在於理念中的完美幾何圖形並以此指導現實中的工程，為什麼我就不能研究「部分等於整體」的集合呢？
古希臘人不願意接受「不可公比的長度」，才把發現它的人投了海。實際上也就那樣嘛，現實裡的線段當然都是可公比的，但研究一下理想中不可公比的線段也不會讓人發瘋、道德敗壞或者少塊肉嘛。
5樓：葛名
自問自答。
前面幾位答主從不同的方面闡述了各自的理解，豐富多彩，如果能緊扣題意就更好了。
所以，康托爾有義務對「部分等於全體」這一問題給出回應，而不是視而不見。
6樓：
康托爾只不過把一一對應取了個名字叫做「一樣多」或者「等勢」。
人家起了個名字你也要管？
你願意的話也可以不叫等勢，你把「一一對應」叫做」adfsfdsffdsaf「，也沒人攔著你，只要你下文繼續用這個稱呼就行了。
這純粹是叫什麼名字的問題。叫什麼名字這種在數學裡根本不算是問題，本來就是愛叫什麼叫什麼，只要下文你接著這麼叫就行了。
和第一次，第二次數學危機出現的問題是完全不同的兩碼事。
7樓：執悲今厄
這就是乙個命名的問題。
相等：對於兩個有限量，相等。
等勢：對於兩個無窮量，一一對應。
不要提『相等』這個詞，直接說『無窮沒有相等。定義一一對應名為等勢，至於你怎麼理解等勢，那是你自己的問題，你覺得等勢是相等那就是，你覺得不是那就不是，與我無關，我定義的是乙個新的體系，我的體系裡沒有相等這個詞，相等這個詞是你的東西，等勢不是相等的延續，而是乙個脫離相等的新概念，你能明白嗎？』
凡人總想把舊的體系修改為新的體系。
但你必須承認：當底層構架變更的時候，體系無法修改，只能新建並取代。因為修改的定義就是『底層構架不變，表層節點變化』。
8樓：唐德銘
喜歡你的問題
1）劃紅線的部分應當反過來解讀。即高斯、柯西等人已經遇到了無限集之間雙射的問題，但沒有好的工具來解決，所以要對「無窮」設限。康托爾使用「勢」成功地解決了這類問題，由於這個工具好用，所以後來的人們繼承了這個工具。
2）勢是基數的推廣、泛化，用來表達無限集中元素的「數量」，對有限集依然有效，也就是說，勢可以完全替代基數這個概念，但是反過來就不行了。千萬不要把「勢」理解為「數」，它只是描述無限集的「級別」、「檔次」的乙個概念。
3）目前已經確定的無限集有3類，它們的勢分別是 0、 1和 2（注： 讀作阿列夫，後面的數字應寫為下標，實在找不到改成下標的工具）。屬於0的集合有自然數集、整數集、有理數集，屬於1的集合有實數集、複數集，2則是所有函式構成的集合。
4）康托爾的乙個結論是，無限集之間能否建立雙射，取決於它們是否等勢。如無法使用分數表達 、 等，再如對數和反對數是在正實數（不含0）和實數之間建立雙射的函式。
5）關於「一一對應即相等」應當表述為「一一對應即等勢」。
6）關於「高斯會認同嗎？」沒有意義，因為就數學史而言，他們不是同一輩人，或者說，站在巨人肩膀上總會比巨人看到的更多，想到的更多。
7）關於「部分等於全體」，在無限集中看似有這樣一種現象，實際上，它既是無限集不同於有限集的一種性質，也是不能把有限集的思維模式加之於無限集的規範。類似的現象在數學中很常見，比如，從定義來看，函式是由一對一對的數構成的集合，但到了微積分，它們又是連續的。這類現象如果用哲學的話講，就是量變達到質變，如果一定要用數學的話講，那就是，有限集是無限集的一種特殊情況，離散是連續的一種特殊情況，它們的特殊之處就是，限制更多了。
8）另外，無限集的建構關係是：0是自然數集， 1是0的冪集， 2是1的冪集，繼續，還可以建構出3、4、5……，只是，至今尚未找到這些集合的實際物件。
9樓：Yuhang Liu
這種問題本來就是數學哲學的立場差異。19世紀的數學，可以說是「具體數學」為主，他們考慮函式就是有具體表示式的函式，心理上排斥實無窮。哲學上的立場差異其實沒什麼對與不對的。
其實乙個人完全可以不認同虛數甚至是負數的存在性，所以乙個人不認同無窮這種超驗的概念也很正常——但是你不能不承認乙個物件的同時，又去使用必須用到這些物件的方法，這就屬於邏輯不自洽了。比如你不承認虛數那你就不能使用三次方程求根公式了，即使3個根都是實數，求根的過程也會涉及虛數。
前幾天聽了乙個數學哲學方面的講座：https://mp.weixin.qq.com/s/wK5Gf8jZEox51iKmiXzf5g
（感謝主講人幫忙釐清了邏輯主義和形式主義的觀點差別）主講人說了一句話，我覺得很有道理：「評價一種數學哲學思想，要看在他的指導下發展出了什麼樣的數學。」 如果沒有集合論，我們可能不會有把函式當成對映的一般定義——我們仍然會認為函式就應該有具體表示式。
沒有集合論，形式主義這些抽象的數學基礎方面的工作，我們可能根本不會關心抽象的集合，從而不會有實分析、測度論、點集拓撲、泛函分析，以及與此有種種聯絡的更偏應用的數學，比如Kolmogrov的公理化概率論，嚴格化的隨機過程理論、數理統計等等。現代數學界普遍接受羅素、希爾伯特那一輩數學家的抽象的數學哲學立場，主要也還是因為這些衍生出來的數學太重要了，他們沒法放棄。如果完全拋棄跟無窮有關的數學語言，以及形式邏輯語言，很多數學家可能連話都不會說。。
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