用分離變數法來解 PDE 的合理性何在？

1樓：高傑琦

證明運算元是正規運算元，這個其它答案也說了。另外這裡提供兩種想法，第乙個就是利用變分理論，但是需要首先證明運算元對應的變分極值的存在性。對於線性運算元，以及一些非線性運算元極值是存在的，但是有些運算元沒有上界也沒有下界。

第二種是看看該運算元能否生成強連續運算元半群，這個可以通過feller-miyadera-phillips對一般半群生成定理推出。解的求解可以通過對對應的豫解運算元的傅利葉反變換得到。

2樓：dhchen

1。不管是熱方程還是波方程都可以寫成下面的情況, 就算是時間上的二階也可以通過引入乙個「矩陣」運算元寫成一階的方程：

最簡單的兩種情況如下：

「分離變數法」包含了幾個重要的知識，首先線性方程的解的線性組合還是解。第二個是，初始值所在空間有某個「完備的正交基」，也就是能找到使得它們把可以把初始值寫成

如果對於任意初值，原方程存在解可以寫成

也就是「可分離」，那麼一般的解就是

第二個層次：乙個如上方程一般可以對應乙個運算元半群。具體來說最後的問題來了，什麼時候運算元有一組完備的不變正交基呢？

線性代數告訴我們，乙個normal的運算元，也就是正規矩陣是這樣（當且僅當）。在無限維空間也是這個情況，可以定義正規（無界）運算元，這類運算元總是可以找到如上的正交基分解。所以，分離變數法的根源之一在於運算元是某個空間中的正規運算元。

特別的，熱方程中這個運算元叫對稱運算元，波方程中這個運算元是反對稱運算元。這兩類運算元都是正規運算元。