1樓：友人A
簡單來說就是在乙個向量空間裡，線性相關就是要張成向量空間裡存在多餘的向量，線性無關就是它們都是不可或缺的
比如二個非零向量線性相關則它們必定成比例及共線，所以要張成二維向量空間裡它們存在多餘，因為它們是共線的
所以這就很解釋為什麼要求向量組構成的矩陣的秩小於向量個數時線性相關，因為多餘了
2樓：弗蘭肯斯坦
x是標量，v是向量。如果只有讓標量x全為0這個等式才成立，那麼向量組線性無關；如果能夠找到不用讓標量x全為0也能使這等式成立的一組x，那向量組線性相關。
還是不懂？那我們不妨把之前那個等式變一下（令n=3，只看3個向量）
看到沒，當線性無關的時候，x全為0， 作為分母也為0，這是不成立的，即向量組裡任何乙個向量都不能用其餘的向量來表示。從幾何角度來說， ( 同理）不在 張成的平面(二維向量)或空間(三維及以上向量)裡，即向量 不屬於span。
反之，當線性相關時，x不全為0， 三個向量中總有乙個可以用其它兩個向量進行表示，即 屬於span。
P.S.不懂span的看這個回答，通俗易懂
線代中的span是什麼意思，比如這道題的第二問怎麼做啊?
其實線性相關的本質可直接從字面上來理解，相關就是有關係，有什麼關係？可以線性表示的關係，也就是存在等式 的關係。從幾何角度來說，就是所有向量是否在同乙個平面或空間裡，僅此而已。以上。
3樓：私奔
假如要參加機械人比賽，組隊需要三個組，機械組、電控組、程式設計組。
如果我們假設每個人只負責一項工作，那麼參加這個比賽最少需要三個人，那麼秩就是三。
如果你們一共4個人，那麼一定有乙個組是兩個人負責，那麼這兩個負責同一工作的人就是線性相關的。
4樓：嗯嘿哈
先定義 .
1.假設有1個向量: ，其中的 是任意的實數。
因此 可以填充滿1維空間。
2.假設有2個向量: .
若2者在不共線的情況下能夠填充滿2維空間。
3.假設有3個向量: .
若3者在不共面的情況下能夠填充滿3維空間。
4.假設有n個向量: .
若n者在不共n-1維空間的情況下能夠填充滿n維空間。
又根據wiki中線性無關的定義:
結合以上所有內容我們能得知，
要是n個非零向量不共n-1維空間，那他們就可以填充滿n維空間（結果1）。
反之，如果n個非零向量中至少有2個向量共小於n維的空間，那他們就無法填充滿n維空間（結果2）。
上述中的結果1就是線性無關的向量組成的結果，結果2就是2個線性相關的向量導致的結果。
總之線性無關的向量就是，其中每乙個都有自己獨特的功能，無法相互替代。
而線性相關的向量功能一樣，因此可以相互替代。
順便在給大家引入一下基，基向量和線性組合的概念吧。
基向量就是乙個空間的基中的向量，並且基向量都是線性無關的。因為他們是構成乙個空間最基本的向量集合，因此空間內的所有向量都能被他們通過「唯一的線性組合」的方式表示出。
線性組合:若空間中的任意向量 滿足 ，其中的 為任意的實數，因此我們稱 是向量集 的乙個線性組合。
若對於空間中的每個向量 的線性組合是唯一的，那組成他的向量集就一定是該空間的「基」。
因此你還可以以此來判斷乙個空間的向量集中的向量是否是線性相關的。若乙個空間中的某個向量的線性組合不是唯一的，那該空間的向量集中的向量一定不是線性相關的。
你可以理解為，線性無關的向量集中的每個向量有他自己獨特且無法替代的功能，但要是空間中的某個向量的線性組合不唯一，這意味著向量集中肯定至少有兩個向量的功能是一樣的，可以相互替代，於是就可以構成「空間中的某個向量有了兩種以上的線性組合」，因此就是他們就是線性相關的了。
5樓：jeremy079
規定存在不全為0的常數k1,k2,…,kn使得k1x1+k2x2+…knxn=0，稱x1，x2，…，xn線性相關.
證明：e^2x，e^3x線性無關
假定e^2x，e^3x線性相關，則存在k1，k2，設k1≠0，使得k1e^2x+k2e^3x=0→e^-x=-k2/k1=常數，矛盾，∴e^x，e^-x線性無關.
於是有y2/y1≠常數，則y2，y1線性相關.
6樓：英雄不問出處
在向量空間中，我理解線性無關就是n維空間裡，這個向量組在每一維上都有投影，如果想以這些向量為基，得到乙個0向量，只有讓每一維的係數都等於0才行。這個對應到線性代數中r=n，AX=0就是只有乙個零解。上述是Ax=b只有唯一解的特殊形式。
b就是n維空間裡乙個向量，如果用n個不同維(或線性無關)的基向量表示，那只有一種表示方法，如果用n+1個或者更多，那就有無數種表示方法。
秩的概念應該也可以從這裡認識，做行最簡矩陣（老忘記叫啥）時，其實就是對n維空間進行降解，降低複雜度，本來m維就能表示的，沒必要弄個n維出來(n大於m) 。秩的大小應該就是最後降解後的m維空間的維度m.。
對應到線性方程組AX=b，r=r（A），設參與表示的向量個數為t，r＜t，即空間維數小於t，這時候想表示乙個t維向量有無數解。若r=t，則只有唯一解。至於說r(A)＜r(A,b)無解，怎麼解釋，我就說你用一堆二維向量表示乙個三維向量，怎麼表示也表不出來啊。。。
手寫。。。。個人理解。
7樓：
哦沒事了我本來想駁斥一下但是我仔細看了一下性質三性質三看快了就會產生巨大的誤解，我相信還會有人有這樣的誤解而來看這個問題我的建議是你仔細看一下性質三，你看錯了，也可說是看反了就這麼簡單。
8樓：CN丶HOOK2
建議你去學習一下《向量與張量》，或者更具體的說《數學分析》。
也許你就會問了，答主怎麼不學？
因為答主是乙個理學專業在讀學生，正在成長。
好奇心是催動人類進步的源泉，有好奇心是好的。、但是你要想好了自己以後該走什麼樣的路？
9樓：沐雨澄風
比如三個向量i求其線性相關或者線性無關，看這三個向量在空間中組成的集合體的體積是否等於零，如果等於零，三個向量線性相關，如果體積不等於零，三個向量線性無關。更高維的我說不出來幾何意義，可以看作比如四個向量的四維體積是否為零。
10樓：心中的太陽
以前乙個地主有n個兒子，現在媒婆要給他的兒子說媒，只有媒婆把地主的的兒子們全部找到媳婦才算成功，否則失敗。這其實就是線性相關與線性無關。你把這個例子與線性相關與線性無關比較一下，就明白了。
11樓：「已登出」
結論就是，如果陣列向量中的某乙個或多個向量可以由陣列內的其餘向量通過加法或數乘表達，則該向量組線性相關，反之則線性無關。
"A linearly independent set is an indexed set of vectors such thatc1v1＋c2v2+...＋cpvp＝0has only the trivial solution."
對照定義..如果上式加粗部分只有平凡解（即c＝0）那我們就說這組向量線性無關，如果它有平凡解之外的解（i.e.超過乙個解）,則稱它們線性相關。
通俗來講就是（幾何意義），線性無關的一組向量是張成某乙個線性空間(該空間中任何乙個向量都可以表達為向量組中的元素進行線性運算後的結果)最少所需要的向量的集合。
比方說在最容易具象化的平面座標系上，∈R就是一組線性無關的向量，span便足以填充整個R空間。但是∈R則是線性相關的, span∈R仍然能且只能填充R,則其中向量[1，1]便是冗餘的——[1，1]本身就可以用[1，0]＋[0，1]表達了。代入到第一段的公式中驗證，易得c1[1，0]＋c2[0，1]＋c3[1，1]＝0是有非平凡解例如c（-1，-1，1）的，確實線性相關。
1.也就是說redundancy（冗餘?）的存在意味著線性相關。高維同理。
2.自由未知量的存在也暗示向量組是線性相關的，所以如果∈Rn中p＞n，則該向量組線性相關（反之不成立）。因為想象乙個列數＞行數的矩陣，其未知數數量＞等式數量，自然會留下自由未知量從而使非平凡解產生。
12樓：小樣
這樣，我是這麼理解的
乙個有兩個向量的向量組，假如都是一維的，並且有乙個能由另乙個表示，這個向量組就是線性相關的。
乙個有三個向量的二維的向量組，你把他在空間中畫出來，你看，他們都是乙個平面上的，那他們線性相關，要是在乙個直線的，就更不用說了。
乙個有四個向量的三維向量組，你把他畫出來，他們是線性相關的，因為一定有乙個向量可以用其他向量表示。
對於n維向量組來說，線性相關的意思就是在n維空間裡他們中一定有乙個向量可以由其他向量表示，不論這個向量的維數是多少。
我感覺就是這樣哈，可能有錯，不過我就是這麼理解噠
13樓：浪裡小白龍
線性無關意思是：一組向量中任一乙個向量都不可以用組中其它向量的加法和標量乘法組合而成。也就是說這個向量對於它們所張成的空間必須出乙份力。
反之就是線性相關
線性代數線性相關怎麼理解？
已登出 純代數意義 幾何意義 首先從最直觀的幾何意義理解 3個向量線性無關，即3個向量不共面，如此才能以這3個向量為基張成三維空間。由幾何意義可推知代數義 3個向量不共面，要想使他們的線性組合為零向量，只有使它們的係數全為零，除此之外沒有，由此得到線性無關的代數意義。 此間少年 兩個向量無論維度是多...
如何判斷向量組是否線性相關？
晚風 1 定義法 令向量組的線性組合為零 零向量 研究係數的取值情況，線性組合為零當且僅當係數皆為零，則該向量組線性無關 若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。2 向量組的相關性質 1 當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組...
向量組線性相關一定可以線性表出，線性無關一定不可以線性表出嗎？
行走清河南北 定理 向量組線性相關等價於向量組中至少存在乙個向量可由其餘的向量線性表出。逆否命題是 向量組線性無關等價於向量組中的任何乙個向量都不能由其餘的向量線性表出。如果向量組中，任意乙個向量都不能被其餘向量線性表出，則這組向量線性無關。如果向量組中有某個向量不能被其餘的線性表出，這組向量的線性...