1樓：
λ如果是重根，它對應的特徵向量不是單獨的方向，而是乙個空間。這個空間裡的所有向量都是特徵向量。隨意選兩個無關的特徵向量進行相似對角化，都能得到對稱矩陣，對應的特徵值都是λ。
正交化無非是在空間裡找了一些特殊的特徵向量。
2樓：上官正申
首先，實對稱矩陣的特徵值顯然都是實數（其實厄公尺矩陣的特徵值也一定是實數，實對稱矩陣只是特例，這裡不妨只從實對稱矩陣出發），如果特徵向量是複數向量，則實部和虛部顯然均是特徵向量，因此特徵值也顯然是實數。
其次，將 看作選定標準正交歸一基矢的 維歐氏空間 上的對稱變換 所對應的矩陣，則根據代數學基本定理，特徵方程必然有解，因此必然能夠找到第乙個特徵值 , 則此特徵值必然有乙個特徵向量 , 假定 是 的正交補空間，顯然有
則對於任意的 , 有
即 , 這說明 是 的不變子空間。既然是不變子空間，則必然又可以在 上找到第二個特徵值與特徵向量。如此繼續下去，可以找到 個線性無關的特徵向量，選這 個線性無關的向量作新的基矢，則顯然 就被對角化了。
最後，假定 和 是分別屬於 與 的特徵向量，當 時，根據對稱變換定義有
因此，屬於不同特徵值的特徵向量相互正交。至於屬於相同特徵值的特徵向量構成特徵子空間，因此我們也可以在子空間上將特徵向量正交化。因此最終我們一定能夠找到正交特徵向量組作基矢，再將該向量組歸一化，便是正交矩陣。
綜上所述，對稱矩陣一定能夠用正交矩陣相似對角化。另外對角化也就是選特徵向量作基矢，對角元當然是特徵值啊。
3樓：凌壹
其實順序應該反過來。
首先實對稱矩陣一定可以相似對角化，這在書上有證明，所以存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，Λ為A的特徵值組成的對角陣，，P為特徵向量組成的矩陣。這是"相似"的知識。
此時A與Λ相似。而在實對稱矩陣中，相似一定合同，所以A與Λ合同，即存在唯一可逆矩陣C，使得CTAC=Λ
至於C和P的關係我就不太記得了，感興趣的話，你得自己推一下QAQ。
我猜是將P單位化(單位化以後仍然是特徵向量)就是C，因為在實對稱矩陣中，不同特徵值對應的特徵向量相互正交(相同特徵值的就不一定)，所以如果A沒有重複特徵值的時候，P單位化後就是乙個正交矩陣，PT=P－1，可以滿足合同的條件。
有重複特徵值的你就真的得自己推了QAQ
4樓：
首先實對稱矩陣必定可以相似對角化。
（二次型那裡理解一下即可）
但不一定要用正交矩陣，可逆矩陣即可。
該可逆矩陣由特徵向量拼接而成，
特徵值就是其相似矩陣。
那為什麼可以用正交矩陣相似對角化呢？
因為正交矩陣是可逆矩陣的一種，
只不過他的行向量和列向量是相互正交的。
回到這個問題，先解答第二個問題，
實對稱矩陣可用（特徵向量拼接的）可逆矩陣相似對角化，相似的對角矩陣對角元素是特徵值。
再解答第乙個問題，
正交矩陣是可逆矩陣的一種，上面的成立，用正交矩陣一樣成立。
ps第二個問題只是簡單說明了一下，如果還不明白我明天再補充，手機打字不方便。
為什麼只有實對稱矩陣可以用正交矩陣對角化？
洋洋洋hey 因為對於一般的可對角化矩陣，不同特徵值對應的特徵向量之間只是線性無關的，它們不正交，正交化過程後不一定是特徵向量了。同乙個特徵值對應的特徵向量可以正交化，問題是不同特徵值之間處理不了啊。而實對稱矩陣有很好的性質 不同特徵值對應的特徵向量一定正交。 風遲御 簡單證明下唄。設A可以通過正交...
為什麼實對稱矩陣一定可以正交對角化？
microball 有乙個較一般的定理 任意矩陣 若滿足 則 可以被酉矩陣對角化。實對稱矩陣因為性質更好，所以還額外滿足 1 特徵值為實數 2 特徵向量彼此正交。因為證明在課本都有，這裡就先不推導了。不過還有另一條路。如果已經接受所有矩陣都能相似為 Jordan 型，假設對稱矩陣 滿足 那麼 則有 ...
實對稱矩陣為什麼這麼特殊？
倉鼠磨光 這個問題問得好。考慮實射影空間RP 每乙個元素都是乙個一維空間。如果選定內積，每乙個元素都可以唯一地表示成乙個秩1對稱冪等矩陣的像。現在考慮他們生成的線性空間，就會得到全體的實對稱矩陣。這樣的所有矩陣構成乙個Jordan代數，上面有自然的Jordan乘積。一般來說一般域上射影空間的構造是線...