1樓：microball
有乙個較一般的定理: 任意矩陣 若滿足 ，則 可以被酉矩陣對角化。實對稱矩陣因為性質更好，所以還額外滿足 (1) 特徵值為實數 (2) 特徵向量彼此正交。
因為證明在課本都有，這裡就先不推導了。
不過還有另一條路。如果已經接受所有矩陣都能相似為 Jordan 型，假設對稱矩陣 滿足 ，那麼
則有 ，
注意到 是可逆對稱矩陣。因此，我們有
[1]因為 對稱，我們有
[2]由 [1], [2] 可知 是對稱矩陣。因此， 是兩個對稱矩陣的乘積，也是對稱矩陣。因為 既是 Jordan 型又對稱，可知 其實是對角矩陣。
(關於正交的證明因為其他答案已經有了，就不贅述了。)
2樓：耿耿天
因為對於歐氏空間中的對稱變換，其不變子空間的正交補必然也是不變子空間，這保證了對稱變換具有完全的特徵向量系來張成整個空間。
3樓：豬豬俠
對角化的數學證明乏善可陳，題主可以在任何一本線性代數的教材上找到。
這裡給乙個物理直觀，考慮流體中的乙個「無窮小」微團，該微團在三維空間中可以拉伸，可以旋轉，可以平移，而且只有這三種變化（你可能會認為可以把它捏成一根彎麵條之類的，但這是不在考慮內的，因為我考慮的是「無窮小」的流體團，其區域性「無窮小」的變形只能是線性的），現在我們用數學語言來描述該變形，設變形前該流體微團上兩點位置分別為 和 ，為該流體的微小變形場，其中 ，則變形後相應兩點位置為 和 ，所以變形後兩點位置差為
由於變形前位置差為 ，故當變形前兩點非常接近時，也就是 時，產生的區域性變形為 ，我們注意到，之前說的三種變化，拉伸、旋轉、平移，其中平移是不會造成區域性變形的（因為平移不改變兩點的位置差），所以 的物理意義是拉伸和旋轉，現在考慮
其中 ，而 .我們斷言， 這樣乙個對稱矩陣，表示拉伸，而 這樣乙個反對稱矩陣，表示旋轉.為了得到這個斷言，我們注意到，旋轉是不改變位置差的大小的，而只改變位置差的方向，因此我們考慮如下只受到位置差的大小影響的量
上式表示的是變形後位置差的平方減去變形前位置差的平方，上式計算得到
由於 ，故上式右端第二項可忽略，故 的的效果就是拉伸，因此， 表示拉伸，而 表示旋轉.
這提示我們，任何乙個對稱矩陣都可以表示拉伸（因為 ，任給乙個對稱矩陣，還原出 是很容易的），而拉伸這樣乙個變換，只要取乙個足夠好的正交座標系 ，總可以使得拉伸在這種座標系下是沿著基的方向做拉伸的，也就是效果是 ， ， ，因此在這種座標系下，拉伸就是對角陣 。另外，我們知道，正交座標系之間的變換就是正交對角化，因此，我們得到結論：對稱陣總可以正交對角化。
4樓：XuGuang
實對稱矩陣是一定可以對角化，簡單的來說，假定你對目標矩陣A施加一系列的列變換 （ 其中， 可逆，從而 可逆。）使其變為下三角矩陣 ，即： 。
然後根據實對稱矩陣的對稱性，要想變為對角陣，對行施加了怎樣的操作，對列也需要同樣的操作。所以你只需要施加對應的行變換 ,就可以將對應列變換轉化成對應的行變換，從而將上三角（除去對角線部分）歸零，即： , 也就是 。
最後，只需要對 矩陣進行施密特正交化處理即可。
另一方面，可以證明實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量一定兩兩正交。
其證明過程可以描述如下：
假設 分別是矩陣 的屬於特徵值 的特徵向量，根據特徵值特徵向量的理論，可以得到： ，因為 是實對稱，所以
將 轉置後乘以 得到 ，從而得到
同理，將 轉置後乘以 得到 ，從而
聯立 得到 ，因為 ，所以有 ，得證。
這就表明，對乙個實對稱矩陣進行特徵分解後得到的特徵向量矩陣，只需對相同的特徵值的特徵向量進行施密特正交就可以得到對應的正交陣。
為什麼只有實對稱矩陣可以用正交矩陣對角化？
洋洋洋hey 因為對於一般的可對角化矩陣，不同特徵值對應的特徵向量之間只是線性無關的，它們不正交，正交化過程後不一定是特徵向量了。同乙個特徵值對應的特徵向量可以正交化，問題是不同特徵值之間處理不了啊。而實對稱矩陣有很好的性質 不同特徵值對應的特徵向量一定正交。 風遲御 簡單證明下唄。設A可以通過正交...
為什麼實對稱矩陣可以用正交矩陣相似對角化？ 而且為什麼對角矩陣還是特徵值
如果是重根，它對應的特徵向量不是單獨的方向，而是乙個空間。這個空間裡的所有向量都是特徵向量。隨意選兩個無關的特徵向量進行相似對角化，都能得到對稱矩陣，對應的特徵值都是 正交化無非是在空間裡找了一些特殊的特徵向量。 上官正申 首先，實對稱矩陣的特徵值顯然都是實數 其實厄公尺矩陣的特徵值也一定是實數，實...
為何正交矩陣一定可以對角化
笑一笑 正交矩陣 預設為實矩陣 在歐式空間上不一定可以對角化，但可以準對角化 對角線上為一階或二階方陣 在酉空間上一定可以對角化。 花火同學 類似問題我已經被推過好多遍了。跟初學者就別扯虛數的事了，我來說句人話。正交矩陣是乙個在三維座標系中歪著擺的立方體。對角化就是把這個立方體擺正來 也就是讓它某乙...