1樓：洋洋洋hey
因為對於一般的可對角化矩陣，不同特徵值對應的特徵向量之間只是線性無關的，它們不正交，正交化過程後不一定是特徵向量了。同乙個特徵值對應的特徵向量可以正交化，問題是不同特徵值之間處理不了啊。而實對稱矩陣有很好的性質：
不同特徵值對應的特徵向量一定正交。
2樓：風遲御
簡單證明下唄。
設A可以通過正交矩陣P相似對角化到B，即P^T A P =B，則有A=PBP^T。
於是A^T=P B^T P^T，B為對角陣，所以B^T=B，於是A^T=A，即能正交對角化的實矩陣都為實對稱陣。
3樓：明日香
實對稱矩陣不同特徵值對應特徵向量本來就正交遇到多重特徵值內部多個特徵向量線性加減對應的還是那個特徵值
非實對稱沒有不同特徵值對應特徵向量正交這個性質正交變換折騰的向量已經不再對應特徵值
4樓：15735103653
我從幾何意義上說說吧，為了鋪墊先講講幾個概念的幾何含義。
設A為實對稱陣，Λ為A的特徵值組成的對角陣，C為A的特徵向量組成的矩陣（其列向量與Λ中相應位置的特徵值一一對應）。A的轉置記為A'
矩陣A的幾何意義
向量常用座標（x,y）'表示，但為了明確定義，我們還需要知道座標的基。它通常就是單位陣E
當基變為A，同一座標表示的向量將從原來的向量變成新的向量。空間中無數的向量將隨同基做同樣的變換。我們可以把這想象為左乘矩陣A即是對空間整體進行剪下、旋轉、伸縮的變換。
A中的每一列向量都對應著原基向量E在空間變換後得到的新的基向量。
要將這種變換再還原回去，只需要再左乘A逆。
對空間先後進行A、B的變換等效於對空間直接進行AB變換。變換的順序一般不能改變。
對空間進行正交變換即是將整個空間旋轉過一定角度而不進行其他變換。
換基
為了在不同基下描述同一向量，需要不同的座標。
A（x1.x2）'=（y1.y2）'
意為同一向量在E基下座標為（y1.y2）'，在A基下為(x1.x2)'
如何在不同基下描述同一變換？
設同一向量在基A中座標為（x1.x2）。則在我們的基E中座標為A（x1.x2）=（y1.y2）。
A逆MA(x1.x2)=A逆M（y1.y2）=B（x1.x2）
意為在我們的基E中對向量進行M變換M 等價於在基A中對向量進行B變換。
相似即為不同基下對同一變換的不同描述。
什麼是對角化
對空間進行對角矩陣變換即是僅在基向量方向進行伸縮。見上圖。對角化處理能極大簡化次冪運算
而對稱陣的特徵向量兩兩正交，即在進行對稱陣變換時，只在其兩兩垂直的特徵向量方向上伸縮。如果你願意將你的基轉過乙個角度，(僅通過旋轉就能使其與特徵向量重合）對稱陣的變換空間的方式在這個新基下的描述就格外簡潔，這將是乙個對角陣變換。
而這只需要將基E更換為兩兩垂直的特徵向量組成的基。
要尋找C使得C'AC=Λ。這樣的C不止乙個，但只有實對稱陣有兩兩垂直的正交向量。其他的矩陣變換是無法僅僅通過旋轉E基中的正交向量使其與特徵向量完全重合，從而將其簡化為對角陣變換。
（注，即便是實對稱陣，並不是所有使其對角化的矩陣對應的列向量都兩兩垂直）
實對稱陣對空間的變換是什麼樣子的？
將你的腦袋稍稍偏向左偏，將p1p2作為新的座標軸，你看到的變換將更加簡潔
隨便畫了乙個對稱陣對二維空間進行的變換。黑色方格是變換之前的以E為基的向量空間，綠色方格是變換之後的向量空間。實對稱陣將整個空間旋轉過一定角度，在此基礎上於p1.
p2向量方向上分別壓縮和拉伸。
結合問題：如果進行的變換不是如此作用的對稱陣變換，又如何僅僅通過旋轉基（對基進行正交變換）使此變換過程在新基下化簡為基方向上的伸縮變換（對角陣變換）呢？
即便能找到一可逆陣可將矩陣對角化，這樣的可逆陣又有什麼用途和簡潔性？對此可逆陣的特徵向量取正交化又有什麼意義呢？
5樓：小明
矩陣只要能對角化，特徵向量都可以施密特正交化.....實對稱矩陣只不過是其中性質良好的一類。
不知道為什麼要有這種問題...
這是個充分不必要命題
6樓：qwery
數學上可以證明，乙個實矩陣能通過正交對角化得到乙個對角陣，那麼這個矩陣一定是對稱矩陣.
把非實對稱矩陣的可逆矩陣P正交化單位化之後得到的矩陣一般來講不能把原來的矩陣對角化
為什麼實對稱矩陣可以用正交矩陣相似對角化？ 而且為什麼對角矩陣還是特徵值
如果是重根，它對應的特徵向量不是單獨的方向，而是乙個空間。這個空間裡的所有向量都是特徵向量。隨意選兩個無關的特徵向量進行相似對角化，都能得到對稱矩陣，對應的特徵值都是 正交化無非是在空間裡找了一些特殊的特徵向量。 上官正申 首先，實對稱矩陣的特徵值顯然都是實數 其實厄公尺矩陣的特徵值也一定是實數，實...
為什麼實對稱矩陣一定可以正交對角化？
microball 有乙個較一般的定理 任意矩陣 若滿足 則 可以被酉矩陣對角化。實對稱矩陣因為性質更好，所以還額外滿足 1 特徵值為實數 2 特徵向量彼此正交。因為證明在課本都有，這裡就先不推導了。不過還有另一條路。如果已經接受所有矩陣都能相似為 Jordan 型，假設對稱矩陣 滿足 那麼 則有 ...
實對稱矩陣為什麼這麼特殊？
倉鼠磨光 這個問題問得好。考慮實射影空間RP 每乙個元素都是乙個一維空間。如果選定內積，每乙個元素都可以唯一地表示成乙個秩1對稱冪等矩陣的像。現在考慮他們生成的線性空間，就會得到全體的實對稱矩陣。這樣的所有矩陣構成乙個Jordan代數，上面有自然的Jordan乘積。一般來說一般域上射影空間的構造是線...