1樓：三川啦啦啦
對於最特殊的數量矩陣
對任意向量 都有，
這似乎是一件顯然的事情，不過如果從特徵的角度看，這個矩陣有特徵方程為
它有 重特徵根且為 ，特徵向量只要非零就行。
對於更一般的矩陣，我們也可以將之模擬為數量矩陣（在相似意義下），只不過是用分塊的方式去理解：
我們發現，這個矩陣可以限定在特定的子空間上，例如 " eeimg="1"/>，等效為乙個數乘變換
總之，特徵思想可以理解為——研究乙個矩陣在其（不變）子空間上的數乘效應。
再回過頭看，將 的特徵值 直接帶入特徵多項式：
我們會發現，特徵化的過程，就是將矩陣 「區域性」化為零矩陣。而 的某一特徵子空間正是——
假如矩陣 可對角化，也就是說它有 個一維不變子（特徵向量），即
把限制在每個一維空間上的數乘變換 加起來，就是 對於空間 " eeimg="1"/>的整體作用：
那麼，這種形式，給人的感覺就是那種靈魂被一點一點抽離——，最終剩下一團真空——。反映到特徵多項式就是如下形式[1]：
其中 是 的特徵多項式，更是極小多項式；事實上，若極小多項式是不同的一次因式的乘積，當且僅當 可對角化。
接下來的內容就算是半賣半送了（[捂臉]）
可是，如果極小多項式 有重因式，矩陣 那就不能對角化了。設
我們回到對應的特徵空間分解，有
也就是說，光有 還不足以導致「區域性零化」，必須進行次冪後
才可以。在矩陣空間中專門有一類矩陣具有這樣的性質，那就是大名鼎鼎的冪零矩陣。在相似意義下冪零矩陣都長這樣[2]，我們叫做塊：
顯然有 ；設冪零矩陣
抽離掉靈魂 之後，只剩下行屍走肉的冪零矩陣，日漸沉淪、坍縮，最終消失。這就是 在每乙個區域性的組成成分。於是即
或者簡記為
於是，對於更一般的矩陣以及極小多項式，我們給出了最一般的形式。
類似於特徵向量的定義， 塊給準特徵向量帶來的效果是——
其中， 是某組基底。
2樓：
矩陣的乙個含義就是線性變換。 如果我們給整個線性空間換一組基底，那麼所有的向量都換了名字(按基底線性表出的係數)，但是實質上還是那個向量。而換基底這件事對矩陣來說就是作乙個相似變換。
現在有這麼一組基底，在這組基底下，線性變換顯得非常的簡單，就是第乙個基向量擴大λ1倍，第二個擴大λ2倍,...,以此類推。 λ1，λ2，...
就是特徵值，相應的基向量就叫做特徵向量。
但是這麼一組基底並不總是存在的。存在這麼一組基底當且僅當矩陣可以被相似對角化。 一般的任意矩陣辦不到這一點，只能保證被相似變換成乙個弱一點的形式，那就是Jordan標準型。
3樓：天下無難課
求矩陣的特徵值和特徵向量與函式式求根有的一比。在函式式y=f(x)裡，有三大類問題，乙個是求函式值，這個就是不斷代入各個x值，然後看y是多少。把這個過程與乙個座標系結合在一起，就是乙個反映這個函式式的一條曲線。
第二類問題是求解，就是知道乙個y值了，要根據這個函式式倒過來找x是多少。
第三類問題是求根。求根其實就是求乙個特別的解，就是y=0時，要找到x是多少。
對於線性方程組的矩陣表示式y=Ax，也有這三類問題，第一，根據A，用不同的x代入(實現A里列向量的不同線性組合)，然後得到對應每乙個x的y，然後根據不同x的取值做出y=Ax的圖形。這個作圖操作很少做，其實它對理解線性變換很有幫助。
扯了半天，這與特徵向量和特徵值有啥關係？有，這求特徵向量就與函式式裡第三類問題~求根很累似，它是求對應乙個特殊y值的特殊的x。在函式y=f(x)裡，這個x的特殊性就在於它對應乙個y=0的特殊情況，對吧？
而在矩陣運變換裡，我們要找的這個特徵向量x也對應乙個y的特殊值(乙個特殊的y)。
這個y的特殊在哪呢？y=0麼？非也！
這個y的特殊性在於它與x共線(同向或逆向)。從公式上是這麼表達的，y=Ax=λx。本來從y=Ax裡面你得不出y與x共線這個結果的(在大多數情況下)，但對於有些變換A，當x取某些方向(記住是方向，與x的長度無關)時，會得到相應的、與x同方向(長度往往不同)的y，這就有了y=λx。
教材裡講了，這個λ是乙個數值，它與x數乘的結果是乙個與x共線的向量。這是乙個特殊的y，就像在函式式裡，x取到根植時，y為零的特殊性類似。而這個λ值就是y與x的長度比。
只要在這個方向上，不管x取啥值(不管啥長度)，y一定與之共線，二者的長度之比總是λ，就是|y|/|x|=λ在這個方向上總是成立的。
如果你費一點勁，做根據y=Ax做乙個圖，從圖形上看(以二維平面作圖為例)，你把乙個向量x(二維，定長)轉一圈(相當與取很多長度相同方向不同的向量擺開)，就形成乙個以向量長度為半徑的乙個圓，如同時你用y=Ax跟著畫圖，你會發現對於有的A，y雖然在大部分情況下與x距離原點的距離不同，方向也不同，但在某個方向上，x與y距離或還是不同，但方向相同，就是y,x和原點在一條直線上。這時的y與x長度之比λ就是特徵值，這個特別方向上的y就是特徵向量。如果你換乙個長度的x來畫圓，也會在這個方向上得到乙個同向的y，而且與x的比值同樣為那個λ。
這個特徵值的出現與x的長度無關，與x的方向有關，這個方向完全由A的構造確定。
x轉360°的過程的端點軌跡是乙個圓，而在此過程中根據y=Ax得到的y端點的軌跡通常是乙個橢圓，還是斜的(外觀上就是長軸與x軸有夾角)。
乙個A可以不止有乙個特徵向量(不止在乙個方向上x,y會共線)，特徵值就可以不止乙個了，但最多不超過矩陣的階數。但也有的A沒有特徵向量和特徵值。
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