1樓：microball
我想原提問的意思是，假設把乙個矩陣的某個元稍微改變，那麼特徵值跟特徵向量會如何改變? 雖然這能歸結到多項式的根與係數相關問題，但因為是矩陣的特徵多項式，應該會有額外的代數性質(以及比較有用的公式)才對?
的確，有一些相對近代的研究，例如以下這篇: Derivatives and perturbation of Eigenvectors (1988) SIAM J. Numer.
Anal. 作者Meyer and Stewart
這篇的公式使用了乙個稱為 group inverse 的概念 (見論文)。
2樓：PHOBIA
我理解的「對矩陣求導」是指把矩陣的每個元素當作多變數微積分中的變數，再對每個變數求偏導擺成矩陣的形狀。例如 ，因為矩陣的跡是對角元的和。
但此處有乙個很大的問題就是，當我們把矩陣當成 的多變數時，某個特徵值並不是矩陣的函式，因為特徵值有 個，且無法單獨跟蹤乙個特徵值隨著矩陣的變化。舉例來說，當矩陣從 變成 時，我們該說是特徵值沒變還是說特徵值1與2交換了？這個的理解決定了特徵值的變化量 到底是多少。
所以感覺題主可能不是這個意思？
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