1樓：XiYC
下面回到ARPACK演算法上來，ARPACK的核心功能的基本目的就是構建矩陣 的相似矩陣-通過Arnoldi過程構建A的Hessenberg矩陣（相當於構建Krylov子空間）：
，然後 和 具有相同的特徵值。IRAM，隱式重啟動形式的Arnoldi過程，是一種技術，也是ARPACK的核心演算法之一，是用來有效建立 的一種方法。回到這個計算過程中，我們並沒有完整的將整個arnoldi過程都搞完，因為這樣計算量太大，而計算幾十萬～幾百萬的矩陣的全部特徵值是不可能的任務。
我們僅僅將Arnoldi過程進行了有限步，得到了：
這裡的f就是餘項，如果 ，我們就認為 可以近似表示 。這個不是題主關注的重點，這一塊我就不多說了。繼續回答問題，這麼搞的好處和壞處分別是啥呢？
節省記憶體空間和損失求解精度。前面說到了A特別大，完全存下來有些時候是不可能的，我在集群上大概直接分布式存過10Tb記憶體的矩陣吧，一般乙個節點可能就64Gb記憶體，所以需要很多，很多的節點。。。。。。直接使用Ax相當於不需要顯示存這個矩陣，只需要存有限個向量，這就是最大的好處。
再來說說壞處，ARPACK在求解問題的時候，需要引入譜位移來求解譜內部特徵值。這樣對應的需要求解矩陣的逆，具體細節請看看ARPACK手冊。但是在求解這些矩陣逆的時候會發現，這些矩陣的條件數往往非常大，往往需要利用直接解法才能的到精確的逆，而用Gmres，BiCGSTAB等等這樣的迭代法往往是發散、不收斂，然後得不到任何有意義的特徵值。
所以一般求解的時候都會建議使用直接法來求解，這個時候直接用Ax就沒有意義了。當然對於非常、非常大的問題，迭代法是唯一的途徑，這個時候Ax的好處就來了。
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