1樓：Mad·Fox
模擬解析幾何
線性變換模擬於解析幾何中需要研究的幾何物件，矩陣模擬於幾何物件在座標系中某組基下的「方程」
基變換說白了其實就是「換了一組基」，換了一組基後，幾何物件的方程會發生改變，線性變換的矩陣也會發生改變，但幾何物件還是原來那個幾何物件，線性變換也還是原來那個線性變換
有了「方程」以後就能用「數字和字母」研究幾何物件，有了矩陣以後，就能用「數字和字母」研究線性變換
人們希望選取合適的基，使得幾何物件在這組基下的方程足夠簡潔，以便於研究；同樣，人們也希望選取合適的基，使得線性變換在這組基下的矩陣足夠簡潔，以便於研究（所以在大多數教材中，這也成為了線性代數的一條主線）
2樓：洋洋洋hey
關係：
1.線性空間V中的乙個由基e1 e2.......en到基ε1 ε2.......
εn的基變換,一定能看作是V的某個線性變換A在基e1 e2.......en 上的作用:且A在基e1 e2.......
en下的矩陣A就是過渡矩陣。
2.設e1 e2.......en是線性空間V的一組基，A是V的乙個線性變換。
如果Ae1 Ae2.......Aen線性無關，那麼A在基e1 e2.......en上的作用，就是乙個由基e1 e2.......
en到基Ae1 Ae2.......Aen的基變換，且過渡矩陣就是A在基e1 e2.......en下的矩陣A.
結論:
1.在有限維線性空間中，基變換與可逆線性變換是可以相互轉化的;
2.線性變換的座標變換公式和基變換下的座標變換公式可以互相推導;
3.線性變換和基變換反映在幾何圖形上，前者改變了圖形的位置和形狀，而後者只是改變了參考座標系。
3樓：城門
數學的魅力恰在於此。數學是一門形式科學，在數學語言的描述和構造下，你可以給一些概念賦予各種各樣的意義，這一點在物理學上表現較為突出。其實你怎麼理解都是可以的，只要邏輯自洽。
比如說矩陣，你可以在很多學科中都能見到它的身影，但你能說這些詮釋是錯的嗎？不能。我想，這可能就是當初以希爾伯特所代表的形式主義學派所追求的形式化吧。
線性變換的矩陣為什麼要強調在這組基下
哈，讓我來說一說矩陣是如何來表示線性變換的。線性變換有它自己的性質。假設x被對映f對映為x 此時x 可以被表示為 x 可以被基唯一的線性組合表示，由基的定義得此時，基前面的係數就是A，即x Ax由此步可以看出，由線性變換和基可以唯一確定Apad碼字，後續詳細補充 再說一句，A可以理解為作用在基上的函...
若線性變換是單射的，那麼也一定是滿射嗎？
RainbowNEOS 對於有限維空間的線性變換，單射當且僅當滿射。對於無限維線性賦範空間的連續線性變換，有可能單而不滿。PDE當中有數不勝數的例子，解有唯一性，連續依賴於條件，但並不充滿整個空間。對於形如 I K的線性變換，其中K是緊運算元，如果是單射，就是滿射。這是泛函分析當中的Fredholm...
傅利葉級數和傅利葉變換是什麼關係？
最近正好在寫乙個和這個有關的文章 Poisson Summation Formula,Revisited 這裡，我僅僅只指出傅利葉級數 Fourier series 和傅利葉變換 Fourier transform 之間的關係 它們是由Poisson summation formula聯絡起來的。如...