1樓：Kuchler
對比A的若爾當標準形B和-B的特徵多項式，要相同，那麼B的非零對角元素成對出現
只有三個元素，又不全為0，所以只能乙個x乙個-x乙個0
於是你發現B只能成為乙個對角陣
2樓：高炤
A和-A相似，所以有相同的特徵多項式。由Cayley-Hamilton得到A^3+aA^2+bA+cI=0,
-A^3+aA^2-bA+cI=0。相加得到aA^2+cI=0，如果a,c不等於0，ax^2+c=0沒重根，所以A的極小多項式沒有重根，A可對角。如果a不等於0，c＝0，那麼A^2=0，說明A的特徵值全為0，與條件矛盾。
如果a,c都為0，那麼A^3+bA=0, A(A^2+bI)=0, 如果b＝0，A^3=0, 同樣A特徵值均為0，矛盾。所以b不等於0，x(x^2+b)沒有重根，所以A的極小多項式沒重根，A可對角。
3樓：
這是個很繁瑣的證明：
設abc是A的三個特徵根，由jordan標準型可以發現-a,-b,-c也是A的三個特徵根。
如果a=b=c，那麼勢必有a=b=c=0。
如果三個各不相同，那麼自然可以對角化。
接下來設a=b, c≠a。
如果a=-a，那麼a=b=0，從而c也必須=0。
a=-b同理。
如果a=-c
那麼就有b=-c, c=-b
由於特徵根必須是兩個相同另乙個不同的格局，現在-c=-c,-b是特徵根，-a=-b, -c也是特徵根，那麼必須有-c=-a=-b。
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