1樓：
取x，使得x+i有素因子qi對於i從1到n成立，其中qi是不同於pi的素數。
由中國剩餘定理，存在這樣的x，也就找到了長度為n的間隔
2樓：cyb醬
首先給出答案，是的！
這個問題可以引出乙個非常神奇的數論故事……但我們還是會先給出證明，想看故事的直接到後面看哦~
我們首先把問題寫清楚一點
給定互異的有限個素數 ，設集合 （就是題目中提到的這樣的數）我們證明對於任意給定的 方程 的解只有有限組
一旦這個問題得到證明，因為解的數量只有有限組，因此 中的元素超過 給出解的最大值時，它們的間距一定大於我們事先任意給定的 ，就是我們所說的【足夠大】結論
我們首先不加證明地給出乙個引理：Thue定理
當 時方程 的正整數解 只有有限組
實際上這個引理的證明是比較困難的，這裡略
我們下面開始解方程 ，怎麼利用已經有的Thue定理來解決問題呢？
非常簡單，我們考慮讓 取遍 中所有的元素構成的二元組就行了
也就是考慮 的所有二元組
顯然，如果乙個數 ，我們可以找到正整數 使得 ，這一點我們舉乙個例子就明白了
比如 我們只需要把 裡正整數因式分解，把素數的那些冪次做除以 的帶餘除法就行了，這樣就可以把冪次中三倍數的部分分給 ，然後把餘數的部分分給
因此，所有的 都可以看作解方程
注意到 元素個數是有限的，因此 這樣的二元組只有有限個
因此原方程的解相當於解有限個Thue方程，根據引理，解只有有限個
實際上有關 Thue方程有乙個神奇的東西，叫做丟番圖逼近
不要被奇怪的名字嚇到了，其實背後的內容是比較好理解的（但是證明是很複雜的，我們不打算進行講解）
最早證明存在超越數的方法正與這個問題相關
我們知道：代數數指的是這個數滿足乙個【整係數多項式】方程的根
比如 所以 是乙個代數數
那麼超越數是什麼呢？就是實數裡面不是代數數的數把他們叫做超越數
這個定義和有理數無理數的定義非常神似
但是問題在於，怎麼證明超越數真的存在呢？答案是構造乙個出來：
首先我們分析代數數的性質：
如果 都是整數， 非零，我們考慮的乙個根
並且如果這個 是有理數，就在整數範圍內因式分解那個多項式。
一直進行下去，我們總可以得到乙個多項式，這個多項式沒有有理數的根了
這樣一來，我們可以設 沒有有理數解
接下來我們來幹一件好玩的事情：明知山有虎，偏向虎山行
你說他沒有有理數解？好，咱們帶入
既然沒有解 就不等於
左右同時乘以 我們知道 不等於
因為我們考慮的是代數數，這個多項式必須有 都是整數
由於 也都是整數，因此 是乙個不為 的整數
因此 也就是
緊接著就可以考察 的乙個根
我們於是考慮乙個函式
我們知道， ，我們考慮在 足夠近的地方，存在
使得 成立（也就是在 附近很近的地方，把 看成一條直線）
這樣一來由於 ，設
我們有若 ，則 矛盾
因此我們的結論是對於給定沒有有理根的 ，存在與 無關僅僅與這個多項式本身有關的 使得對任意的 成立著
1/(cq^m)" eeimg="1"/>
這個結論就是大名鼎鼎的 Liouville定理（劉維爾定理）
現在我們用這個結論來構造乙個超越數，因為我們知道任意乙個代數數 都可以找到 滿足上述關係
如果我們能夠找到乙個 無論多大的 都存在 使得那個式子無法被滿足不就只能是乙個超越數了嘛！
我們讓這個 很瘋狂地逼近一些有理數：
驚嘆號！表示階乘，不要太過驚訝！
比如我取
很容易發現 （讀者自己證明）
而分母是 ，那麼根據不等式 1/(q^m|x_0-p/q|)=10^/10^" eeimg="1"/>
10^" eeimg="1"/>
很容易發現當 足夠大時， 無論 是多少 最終會衝上雲霄
因此 不是代數數，但是是實數，我們構造出了第乙個超越數！
實際上當然還有很多不是那麼【人造】的數是超越數
比如 都可以被證明是超越數，因此知乎上很多問如果這倆是有理數會發生什麼事情，這是沒有意義的，因為這兩位無論怎麼樣都不會是有理數、代數數的
你會問這些東西和原問題有什麼關係呢？
有，關係就是丟番圖逼近
人們懷疑 1/(cq^m)" eeimg="1"/>的 遠遠不是最優的，什麼意思呢？就是說乙個無理代數數與乙個有理數不能靠的太近，應該那些代數數都【遠離】有理數才對。
於是Thue證明了分母的 可以改進到 於是證明了我們前面提到的Thue定理
後來有人改進到了 ……人們還是不滿意
最後Roth出來，和大家說，把 改進為任何比 大的，哪怕是大 的數，這個式子都有 成立，但是很可惜的是，這個證明只在理論上有意義，具體的 值的求法並沒有給出……
於是後來，又多了很多稀奇古怪的方法對於某些特定的代數數給出 的界，但這都是後話了。
而且這些問題的證明難度遠遠大於我們現在在聊的話題
另外，有興趣的同學對於原問題 在 的情況可以了解Strmer's theorem
其他有關的東西包括Pillai方程Catalan猜想之類…
總之，我想說一句話
極座標表示 5000 到 50000 之間的素數為什麼會形成一條螺旋線？
Endark 可以康康3b1b對此的解釋，個人認為講得非常清晰 畢竟連我這個菜雞都看懂了 沈逸晨 不知道怎麼說好，雖然題主的問題我什麼都看不懂，但是還是想來回答一下。感覺什麼詞都不貼切，數學這個東西，當定義乙個運算規則的時候他就多了一大堆東西出來，比如說 這個，當第乙個用他的人用它的時候，某種角度上...
c語言一到一千的素數如何求
已登出 1000以內就不用考慮效能了直接按定義篩查 include int main return 0 我在瘋人院 我是大一，零基礎，剛剛上了幾節c語言，老師讓我們寫的 include int main void int a,b,c,d a 1000 while a 0 for b a 1 b 1 ...
為什麼 e 的 lnx 次冪是 x？
苟或 直觀的理解，lnx的意義就是 e的多少次冪等於x？lnx就用來表示這個問題裡指的 多少 所以e的lnx次冪 e的 多少 次冪 x 如果 那麼我們就把 記作 讀作 以 為底 的對數。特別地，如果 那麼我們把 記作 其中 稱為自然常數，因此 即 0 eeimg 1 木木 loga b 的意思是，咱...