1樓：何冬州楊巔楊豔華典生
首先我們需要將最大公約數及互質的概念推廣到有理數，推廣到實數。
令b/a=t≠1，易得a=t^(1/(t-1))，b=t^(t/(t-1))，
2樓：Owen
證明當a≠b時，存在a，b使得a^b-b^a=0令a，b為大於0的實數
原方程劃為a^（1/a）-b^（1/b）=0考慮函式f（x）= x^（1/x），x＞0f（x）在（0，+∞）上連續且可導
f（x）=e^（lnx/x）
f』（x）=x^（1/x）×（1-lnx）/x^2當x＜e時，f』（x）＞0，函式單調遞增
當f（x）=e時，f』（x）=0，函式有最大值e^（1/e）當x＞e時，f』（x）＜0，函式單調遞增
lim（x趨近於0+）f（x）=lim（x趨近於∞+）f（x）=1所以當y屬於（1，e^1/e）時，必存在2個不同的x使得f（x）=y所以當a≠b時，存在a，b使得a^b-b^a=0
3樓：無名
分享乙個類似的問題。
有沒有兩個不相等的數a和b，滿足a的a次冪等於b的b次冪？
有a=1/2，b=1/4
更一般地：
4樓：甜甜甜菜
對於任何 滿足 (以下均假定 ) , 設 , 其中 , 顯然 由 唯一確定. 因為 , 比較指數得 , 這說明所有 都是 的形式.
反之, 對於任意的 , 容易驗證 且 , 這說明所有這種形式的數對都等於某 .
也就是說所有 恰由引數方程 給出, 其中 . 由於 嚴格單調增, 是 上的雙射, 其中 是所有 的集合. 作為乙個直接推論, 滿足條件的 必須有無窮對.
事實上我們還可以得到一些更有趣的結論: 例如注意到 只能從 中取值, 這表明 是唯一的正整數解. 同時任何 對應唯一的 , 對應唯一的 , 說明 是 的函式, 記為 .
又因為 嚴格單調減, 嚴格單調減, 存在. 如果將條件 放寬到 , 那麼當 時 , 又因為當 時 和 都 , 如果補上點 , 所有 就是一條關於直線 對稱的連續曲線. 這條曲線, 並上直線 , 就是函式 的零點的集合.
5樓：智商稅
有，滿足 的數對 很多，而且它們近似地滿足 。
它更重要的意義在於：對於任意乙個正數a，都存在乙個與它不等的正數b，使冪可交換。
首先，方程 的圖象非常類似於直線 與某種曲線聯合；其次，很容易知道，這個曲線以直線 為漸近線，而且經過 。
擁有同樣漸近線，並經過同一點的雙曲線的右上半支，如果作圖出來的話（綠色虛線），會發現重合得相當好。
【試圖證明】
兩邊同時取對數得 即
直線與雙曲線聯合的方程為 ，展開並分離變數得
6樓：離夢炎
看了其他答主的回答，我就偷個懶吧
大佬們的解法太強了，我換個思路吧
見有好幾個答主都說到了 ，這個答案其實還可以寫成這個式子的啟發性很強，是不是可以根據這樣創造無窮多類似的解呢？
當x、y、n都不為0時，有
令 ，則 ，即
此時，只需令 ，化解得
只需求出 ，也就是
設 ，則有
7樓：梡樽
化簡後可以得到
y/x=lny/lnx
則存在a使得y=alny且 x=alnx，y≠x其實就是方程ax=lnx在什麼情況下有兩個不同的實根，這就取決於a的取值範圍。
接下來就很簡單咯，你會發現在不同斜率的a下，直線ax和lnx當然有兩個交點的時候，a不同則解也不同，因此滿足條件的有無數種解。
8樓：雲淺知處
哇剛剛回來看的時候發現問題改了/fad
「並且 和 互質數」是啥意思啊，意思是 且 互質嗎qwq
下面為原回答，我在最後面會補上改題目後的這種情況的w
如果沒有「互質」這個條件的話，那麼是有的，且有無窮多組。
比如： 。
再整個活，比如：
（第二組這裡求的是近似值，實際上這是兩個無理數，可能會有誤差）
更一般地，因為
若 0,b>0" eeimg="1"/>
則有 即
即 。考慮函式 ，有：
於是 在 內單調遞增，在 內單調遞減，在 處取到最大值。
大概長這個樣子：
由此可見，存在無陣列不同的 使得 ，即 。
但是這個過程其實是有一些缺陷的w
不過既然題目問的是「有沒有」，那這個方法是沒什麼問題了w，確實證明了有無陣列 使得。
若 且 互質，則：
0,b>0" eeimg="1"/>
則此時和上面的情況相同，那麼只需要驗證 左邊的正整數即可，也就是 。
顯然不可能，因為若 ，則 ，又 0" eeimg="1"/>，於是 或 ，而這兩種均不成立。
時，有 ，又 ，則 。此時 不互質，捨去。
2. 0,b<0" eeimg="1"/>
若 為奇數，則有 0,b^a<0" eeimg="1"/>，於是 。
所以必有 。
於是 ，則 ，於是 為偶數，又 為偶數，則 不互質，矛盾！
所以這種情況下， 不存在 使 ，且 ，互質。
3. 0" eeimg="1"/>
這種情況其實與第二種情況是相同的，只是把 換了個位置qwq。
4. 這種情況其實與第一種情況類似qwq。
我們取 ，則 0,q>0" eeimg="1"/>且 互質。
於是 ，即 。
亦即 。
若 為偶數，則 0" eeimg="1"/>，於是 0" eeimg="1"/>。
又 0" eeimg="1"/>，則有 0" eeimg="1"/>，即 為偶數，此時 不互質，不成立。
所以 為奇數。同理 為奇數。
所以 。
於是 ，即 。
那就和第一種情況差不多了qwq，兩邊取對數，得：
即： 亦即 ，那就和第一種情況沒區別了QAQ。
所以這時也不存在這樣的 ......
所以綜上所述，改題之後，並不存在 使得 且 互質qwq.......
QwQ看在珂朵莉這麼珂愛的份上，給個贊唄/qq
9樓：Danny
假設a b為正數，取對數有：
對於 ，函式 ，恒有兩個交點，因此解是存在的。
題主可以考慮一下這樣乙個問題 正整數解是什麼？
有一次想「985大學」，985這三個數字，想到了這個問題。
ContourPlot[x
^y==y
^x,,
]這個曲線上每一點都是解。
小範圍內
10樓：w72za
1/24更新
先上結論。
沒有。（對新問題「a和b是互質數」來說）
原問題：有沒有兩個不相等的數 a 和 b，滿足 a 的 b 次冪等於 b 的 a 次冪？
既然後來新添了「互質數」的條件，就限制在了非零自然數範圍內吧。也限制在了有理數範圍內（廢話）w
而根據結論我們有：當 時，
當a, b為有理數時，有且僅有通解
(或 )
(或 ) 且n為奇數）
(證明見原回答）
因為（n+1, n）=1 , 若a, b為整數，必然滿足n=1
不妨令a所以沒有(￣▽￣)"
以下是原回答w
1/20
返校時候順便問了下這個題（笑）
當時是另一位佬突發奇想（？）想到的題然後貼到了黑板上，我卡了半個多小時，被旁邊的cjh同學幾個課間秒掉了：）
（原題中,a∈Q, b∈Q）
以下是解答過程。（cjh同學的原稿跳步嚴重所以自己加了一點：）
1° a=0或b=0時，則a=b=0，不合題意
2° b>0 a>0
不妨設b=ka (k>1)
代入可得 ，即 , 即
設 , 代入得
即 因為 ,所以
因為 所以
所以 （因為n+r和r互質，所以由 可以得到 均為有理數又因為n+r, r均為整數，所以 均為整數，於是易得上式）（這一行看了我10分鐘才看明白(／_＼）
當r≥2時不等式顯然不成立
（舉個栗子 r=2時 捨去；r=4時可得 , 顯然n＜1，捨去；r為奇數時有時甚至會出現n<0 ）
所以r=1 即此時 n+1≥n+1恆成立
即 且（此時a≤b）
3° 同理，當 a, b<0 時
易得 且為奇數
4° a<0 b>0時
此時設同理可得r=1
代入得n(n-1)<0 0
綜上，有通解
且n為奇數
過程可能有點不嚴謹比如 這裡也不知道怎麼證（懶的：） 畢竟咱才初二（笑）
無理數回頭再看看：）
剛看到下面 @離夢炎 的另一組通解n≥3時就是a, b的一組無理數解:-D
11樓：姜很犟
假設a^b=b^a，a和b都是正數，那麼就有a*lna=b*lnb。
考慮函式y=x*lnx(x>0) ，有y'=lnx+1。
當x<1/e的時候，y'<0，函式y單調遞減；
當x>1/e的時候，函式y單調遞增。
所以可以肯定，a和b可以不相同。
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