1樓：Ry.L
最近也在複習這一塊...
需要掌握的知識點：
特徵值和特徵向量的基礎性質：比如特徵向量一定不為0，r(λE-A)
2. 「A可以對角化」等價於「A有n個線性無關的特徵向量」。
3. 對於齊次方程AX=0，其解空間可定義為：V=，則有一定有r(A)+r(V)=n，這裡的n表示A的階數
分析：這裡在我們求得特徵值之後，乙個是1，乙個是2（二重），我們只需再對每個特徵值所對應的線性無關的特徵向量進行推理即可。
情況1（可省略）：如果特徵值為1，這時候其特徵向量X會滿足齊次方程組：(1·E-A)X=0，聯想上面的定義，我們有r(E-A)+r(V)=3，這裡V=。
對E-A觀察，可以得到r(E-A)的秩=2，由r(V)=n-r(E-A)=1，我們找到了1個特徵向量，還要再找2個。
情況2：如果特徵值為2，同樣的我們觀察(2·E-A)X=0，如果要使r(V)有2個特徵向量，則由r(2E-A)=n-r(V)，r(2E-A)必定為1；在這裡，我們可以通過對2E-A進行觀察，對a的取值進行推導。
廢話好多，主要是怕自己忘了
2樓：若言琴聲
矩陣可相似對角化，根據你這個問題是，特徵值的重數=線性無關的解向量的個數。你這個重數是2，要想線性無關的解向量的個數＝2，秩只能＝1，因為基礎解系中所含線性無關的解向量的個數為n-r。題為3階，3-r=2，即秩=1
3樓：暴躁的哥譚市民
之前理解的有偏差，我改一下!!!!之前按我理解的是錯的!!!
n階矩陣有n個特徵值，判斷是否相似對角化就是判斷n個特徵值是否都不相同(單根)，若都不相同則對角化，若有重根在判斷對應的特徵向量的個數(若有兩個重根，則判斷這個重根的值是否對應兩個無關特徵向量，是的話就可相似對角化)
因為A可相似對角化，等價於特徵值為2(雙重根)必須對應兩個線性無關的解向量(特徵向量)如果雙重對應乙個解向量是不能對角化的，矛盾的，s=n－r，n是三階的=3，(在齊次方程組裡叫解向量，在相似裡叫特徵向量，一回事，別糾結)，所以r是等於1的!希望改過之後你們能接收到通知!!!
4樓：百思慧
矩陣可對角化的乙個充要條件是：特徵值的重數=特徵子空間的維數.
這裡因為可對角化，且2這個特徵值是2重，所以特徵子空間的維數為2，這樣係數矩陣的秩就要等於1（因為：對於齊次方程Ax=0，必有r（A）+dimV=n，V是解空間）.
為什麼實對稱矩陣一定能對角化？
復興偉業 不用厄公尺特矩陣，也不用二次型。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。設A是乙個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣T，使得 T的逆陣 AT為對角矩陣。證明 當n 1時結論顯然成立。現在證明若對n 1階實對稱矩陣成立，則對n階實對稱矩陣也成立。設 是A的乙個特徵值 n階矩陣一定...
為什麼實對稱矩陣一定可以正交對角化？
microball 有乙個較一般的定理 任意矩陣 若滿足 則 可以被酉矩陣對角化。實對稱矩陣因為性質更好，所以還額外滿足 1 特徵值為實數 2 特徵向量彼此正交。因為證明在課本都有，這裡就先不推導了。不過還有另一條路。如果已經接受所有矩陣都能相似為 Jordan 型，假設對稱矩陣 滿足 那麼 則有 ...
為什麼只有實對稱矩陣可以用正交矩陣對角化？
洋洋洋hey 因為對於一般的可對角化矩陣，不同特徵值對應的特徵向量之間只是線性無關的，它們不正交，正交化過程後不一定是特徵向量了。同乙個特徵值對應的特徵向量可以正交化，問題是不同特徵值之間處理不了啊。而實對稱矩陣有很好的性質 不同特徵值對應的特徵向量一定正交。 風遲御 簡單證明下唄。設A可以通過正交...