1樓：天穹上的軟光子
因為粒子能自由移動到任意遠。這立刻意味著態空間是無窮維並且對稱性是非緊的。
可以考慮下dS時空中空間緊緻帶來的不同，以及AdS時空如果不把時間方向開啟導致的問題。
2樓：
對於每種粒子選取乙個標準動量 ，對於有質量粒子，標準動量為 ，無質量粒子 。Poincare群有子群 ，群元素作用在標準動量上保持其不變： ，這個群被稱為小群。
已知有質量粒子的小群是 （三維旋轉群），無質量粒子的小群是 （二維等距群，即平面上的旋轉和平移）。現在可以找到小群的表示 ，這是有限維酉表示，於是對於每個動量都聯絡著乙個小群的有限維酉表示，我們只需要將原本的動量先變換回標準動量，再通過小群表示作用上去最後再變回應有的動量就行了。假設對於某個場 具有動量 （ 代指其他量子數），變換 是標準動量和任意動量間的變換，則任意Poincare群元素 的作用可表示為 :
這個過程叫做Poincare群的誘導表示，具體過程可參考Weinberg量子場論的第二章。
3樓：羅炫錦
這其實不是個難點，而且非常合適描述粒子。量子場論沿承了量子力學的Hilbert空間描述，因為所有的粒子態都是乙個態空間中的向量（實際上是linear manifold），。
。然後我們稱每個不變子空間為一種粒子。這裡的原因當然是，如果兩種粒子在所有的現象中都不會互相轉化，我們就認為它們是不同型別的粒子。
Poincare群的操作相當於參考係變換，如果在兩個參考係中的兩個態可以經過Poincare群對映過來，也就說明了這兩個態描述了同乙個粒子，因為乙個粒子換了乙個參考係，還是那個粒子。
然後我們來說說對於特定的不可約表示，無窮維指的是什麼。我們說了，一種不可約表示對應乙個群的不變子空間，也對應一種粒子。對乙個粒子它的所有可能的態，除了自旋的方向可以有有限個自由度以外，它本身還可以擁有不同的能量-動量，即4-動量，前者自旋只有（2s+1）個自由度，對應小群SO（3）的李代數角動量算符的本徵值，後者卻有無窮個自由度，因為每乙個boost就能把乙個態對映到另乙個4-動量的態。
與自旋態不同的是，自旋（2s+1）個方向的態疊加就可以得到某個粒子的各種自旋態，但具有某個4-動量的態不可能由其他動量的態疊加而來，換句話說，這個子空間必然有無窮個基。這是顯而易見的，動量對於乙個粒子來說就是確定的，不可能某個動量的穩定自由粒子會突然變成兩個這種粒子的不同動量狀態疊加（想象如果乙個自由電子在空間中的運動速度在兩個值之間來回擺動會變得多麼荒謬）。
因此每種粒子天然的需要無窮維的Hilbert空間表示，也符合Poincare群的么正表示的結論。
4樓：王珞玉
善用知乎搜尋。對於尋找非緊群的表示的問題，我們一般需要找它的最大緊緻子群。Poincare 群的表示可以由小群（little group）表示誘導出來。
小群表示本身給出了標準動量單粒子態的分類，在自旋空間上的表示可以誘導出 Hilbert 空間上的不可約么正表示。無限維么正表示主要來自於不同旋量場的組合，你總可以選一些旋量的耦合
把表示的維數往上提。對於不同的旋量場， ，最後可以發現， 只會是無限維的。
為什麼旋量場可以構成龐加萊群的無限維么正表示，與不同動量的little group構成的表示有聯絡嗎？
如何評價《醜陋的量子場論》？
自學生 物理學和數學，都是一對兩性同在的時間生命原理。原子和宇宙，都是一對兩性同在的時間生命原理，都是一對份母和分子時間和數學性質原理。磁場和力場，是一對輸入和輸出的發電和用電的時間生命原理。一對兩性同在的動磁力和靜磁力，是輸入和輸出發電和供電的時間生命變壓器，都是一對磁場變電場的時間變化的生命過程...
量子場論裡的 Hilbert space 是什麼？有什麼物理意義嗎？
量子場論是無窮多自由度系統的量子力學，它們之間沒有本質區別。當我們把場算符從四維壓縮為一維 時間 時，量子場論就是單粒子量子力學。 如果用canonical quantization formulation的話，量子場論裡場算符不一定是unitary演化了.場算符的演化按照這為什麼不是么正的？如何解...
請問這個量子場論問題如何解，能給個具體思路嗎？
yinset Quantum Fields And Strings A Course For Mathematicians VOLUME 1 有詳細答案，大概在691頁，問題在629頁。 Mikasa 當 g id 的時候可以參考Nakahara的 section 12.10.注意到 tr 1 F ...