1樓：
「怎麼理解」……我不知道你是想表達什麼……
你要問多元函式在有界閉區域內為什麼是有界的，那隨便什麼高數或者數分教科書上都是有證明的。而且由於函式的有界性與它所定義的集合的序結構無關（單調性之類的則不同），所以直接把一元函式在閉區間內的有界性的證明過程照搬其實就差不多了。
你要問本質的話，這個定理的本質是，如果對映 是把度量空間 映入 （可推廣到 乃至更一般的度量空間和豪斯多夫空間）的連續對映， 是 的乙個緊緻的子集，那麼它的像 也是緊緻的.
而其本質上的原因則是：歐氏空間中，列緊集、緊緻集和有界閉集是等價的.
對於這個問題本身，我給出兩種常見證明方法：
設某個多元函式 定義在有界閉域 上，並且連續
（一）波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理
假設 無上界，則對每個 ，存在點 ，使得 n" eeimg="1"/>
這樣可以得到乙個有界點列
由Bolzano-Weierstrass定理（不同書上又稱列緊性定理或緻密性定理）
這個點列一定含有收斂子列 ，設
由於 是閉集，從而
又由Heine歸結原則，有
而由 n" eeimg="1"/>，可得 k_\geq n" eeimg="1"/>
從而 矛盾
故而 在 上有上界，同理可證， 在 上有下界
從而 在 上有界
（二）海涅-博雷爾-勒貝格定理
是 上的連續函式，由連續函式的區域性有界性
在任意點 連續，則它在此點的某個鄰域 上有界
對於任意一點 ，都存在這樣的鄰域
在集合 上，存在正數 ，使得
對一切點 所構造的所有這樣的鄰域 ，它們全體組成了有界閉集 的乙個開覆蓋
由Heine-Borel-Lebesgue定理（又稱有限覆蓋定理）
這個開覆蓋中一定能選出有限個開集作為 的乙個有限子覆蓋
這有限個開集 覆蓋了
並且存在正數 ，使得對一切 （ ）
有 （ ）
令 對一切 ， 必屬於某個
則 可得 在 上有界
這個定理又稱作Weierstrass第一定理
更進一步還能證明， 可以在 上取得最大值和最小值
這個又稱作Weierstrass第二定理
在有界閉區域上連續的多元函式一定有最大值和最小值是否正確？
Rn在給定歐氏空間拓撲時 數學分析的情形 正確。因為Rn裡有界閉集為緊集，緊集被連續函式對映到R的緊集中，所以有最值。一般而言，給定其他的拓撲，如果有界閉區域在其中不是緊集，則不成立。 不正確。比如給 離散度量 定義任意兩不同點間的距離為1，相同點距離為0 那麼 是個有界閉區域，連續，沒有最大值。這...
如何證明函式 y x 1 x 1 在 , 有界？
該函式定義域為 當x 0時，y 1。當x 0時 x 0，x 0，所以y 0 此時繼續分兩種情況 當x 1時，0 當x 1時，x x 0，綜上，0 和這兩個標籤有什麼關係 Roc Yeats 證明方法倒是有很多，總結一下各個回答中計算量較小的3種，後兩種也是中學證明不等式常用的方法。函式極限的區域性有...
有界的導函式一定連續嗎
黎曼可不積 下面是之前的回答，鑑於我之前質疑的那個回答已經消失，所以刪掉部分內容，關於牛頓萊布尼茨公式，感謝 dhchen 的指正 勤於思考，敢於質疑，這才是正確的學習方法，題主你的質疑是對的，這道題無法用黎曼定積分的定義去做 我指的是像答案那樣直接用 首先，按照題中的條件，無法推出導函式是連續的，...