1樓：
Rn在給定歐氏空間拓撲時（數學分析的情形），正確。因為Rn裡有界閉集為緊集，緊集被連續函式對映到R的緊集中，所以有最值。
一般而言，給定其他的拓撲，如果有界閉區域在其中不是緊集，則不成立。
2樓：
不正確。比如給 離散度量（定義任意兩不同點間的距離為1，相同點距離為0），那麼 是個有界閉區域， 連續，沒有最大值。
這可能不是你想看到的，你想要的「多元函式」每個變數應該在正常的實數直線上。然而這種情況也有反例。考慮 。
給每個變數的 正常的拓撲，給 一致拓撲，也就是說 和 的距離等於 。下面設 。 是有界的，因為 裡任意的元素和0的距離都不超過1。
是閉集，因為一致收斂性保持極限不變。下面令 定義為 ，那麼 連續，因為如果 那麼 。 的上確界明顯是1，但這個值取不到，所以 沒有最大值。
即使我們再要求一定要在歐氏度量中，還是有反例。比如設 ，那麼 明顯是有界閉集。令 定義為 ，那麼這函式連續，上確界是1，但也取不到。
可能你想看到的多元函式除了滿足這些條件，變數的數量還要是有限個。在 中，有界閉集就是緊集，連續函式 把緊集 對映到緊集，所以 在 中有界。設 ，那麼可以找乙個序列 使得 M-1/n" eeimg="1"/>。
因為 是緊集，可以找乙個收斂子串行 ，就有 。類似可證明 也有最小值。所以在這種特殊情況命題正確。
多元函式在有界閉區域內的有界性怎麼理解？
怎麼理解 我不知道你是想表達什麼 你要問多元函式在有界閉區域內為什麼是有界的，那隨便什麼高數或者數分教科書上都是有證明的。而且由於函式的有界性與它所定義的集合的序結構無關 單調性之類的則不同 所以直接把一元函式在閉區間內的有界性的證明過程照搬其實就差不多了。你要問本質的話，這個定理的本質是，如果對映...
有界的導函式一定連續嗎
黎曼可不積 下面是之前的回答，鑑於我之前質疑的那個回答已經消失，所以刪掉部分內容，關於牛頓萊布尼茨公式，感謝 dhchen 的指正 勤於思考，敢於質疑，這才是正確的學習方法，題主你的質疑是對的，這道題無法用黎曼定積分的定義去做 我指的是像答案那樣直接用 首先，按照題中的條件，無法推出導函式是連續的，...
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我覺得題主想要的是這個 Principle of Permanence.但條件是1.解析函式 2.存在收斂於定義域中一點的零點序列 僅僅是無限次可微是不夠的。反例很好想啊 x 2 sin 1 x 還有exp 1 x 2 和x 0拼起來的。這兩個都是無窮次可微的，但都不是解析函式。 Yuhang Li...