1樓：夜陽星空
其實方法很簡單，駐點的各個方向都要滿足條件，可以讓過駐點的每乙個方向的曲線都滿足二階導不為0（在一元函式中就是一階導為0二階導不為0得出一定是極值點），從而確定此處一定是極值點；
而二階導為0且兩側異號則一定是拐點（一定不是極值點）；
2樓：wlmmhxu
已知函式 （假設函式平滑，即可微），在三維空間中的對應圖形是乙個曲面。
若要函式在 取得極值，需要滿足：過該點由任意方向上的無限大平面所截得的
無數條曲線均在此處同時取極大（小）值。
任意取一方向，該方向上的單位向量為 ，
因為對於任意θ，均有
①當 =0時， ，當 0時，f(x,y)取極小；f_<0時，f(x,y)取極大" eeimg="1"/>。
②當 若 0," eeimg="1"/>則對於任意 應有 0恆成立。" eeimg="1"/>
則， 此時取極小值。
3樓：Alepha E
準確講應該是二元函式吧？
這個問題看似是個微積分的問題，，實際上需要線性代數的東西才好說。。。
先給題主乙個比較中規中矩的回答~
首先，先假設乙個函式 都是二階混合偏導連續（要不就沒有 這一說了）
如果想要求乙個函式的極值（不是最值，當然最值處可能不可微分），就需要考慮
當 時。
注意：此處我省略了 ，為了能夠標記清楚，我分別將其替換為向量的第乙個、第二個分量的位置。
按照題主所說，想要判斷這個極值是極大還是極小，對比一元函式，應當再多考慮一步「二階導數」。
但是要注意，求偏導後的函式也是個二元函式。
所以同樣
然後再整回去，
因為二階偏導連續，所以有 ，於是上面矩陣就可以寫成
也就成了乙個是2階實對稱矩陣。然後你想知道兩個一階偏導為0是，函式是極大還是極小，按常理來看就是：看它過駐點時的走勢。
比如先看乙個一元函式：
綠色為某乙個函式，紅色為導數
能夠發現，極大值處的導數由正變負，極小值由負變正，也就是說，極大值的二階導大於小於0，極小值的大於0。
對於一元的函式，很直觀很好理解，那麼二元甚至多元呢？
那就把二元函式看做是兩個一元函式不就可以了？
回顧上面的矩陣，可以在空間中找到兩條不平行（重合的）「線」，矩陣的彎曲程度投射到兩條線的大小就分別是 .
（ 分別為切曲面於駐點處的兩個向量）
那麼，由兩條「線」編織成的面的彎曲程度，就可以用那兩個數的乘積 的正負來表示了~則了。
對於這兩個特徵值，如果都大於零，說明沿著這任意方向的趨勢是增加的，該點為最小值。如果都小於0，這說明任意方向是減少的，該點為最大值。如果一正一負，則說明沿著乙個方向增加另乙個方向減少，極值不存在。
如果有一者為零，需要繼續判斷。
總而言之
微分將非線性的問題整理成線性的問題，從而可以借助線性代數的工具進行求解。
4樓：open
其實多元函式極值的研究思路與一元函式的極值的研究思路完全相同。
我們非常熟悉一元函式的極值問題，利用一元函式的導數與二階導數來判斷極值點的存在。導數為零的點我們稱其駐點，駐點是極值點的可疑點，如果駐點兩側導數值異號，那它就是極值點。通常我們利用駐點處二階導的正負來代替這的判斷過程：
如果駐點處二階導大於零，此點為極小值點。二階導小於零則為極大值點。等於零的話還要再去判斷三階導的正負。
二元函式偏導數，方向導數，梯度，可微的基本理解請看這篇文章
二元函式與一元函式不同點在於，二元函式自變數的靈活性遠高於一元函式，一元函式自變數只能在x軸上變化，而二元函式的自變數是在整個xoy平面上變化的（假設定義在 上）。
這使得二元函式極值點成立的條件更加苛刻。若 是函式 的極值點，意味著在P點的乙個領域裡（圓域）無論點M(x, y)以哪種方式，且無論從哪個方向趨近P點，P點都是極值點，這時P點才是這個二元函式的極值點。
這個問題看似很複雜，怎樣才能驗證在任何曲線，任何方向上P都是極值點呢？
一種重要的思想就是降維，怎樣把二元的問題轉化成一元問題，也就是人們建立方向導數的目的，我們讓M(x, y) 以直線的方式逼近P點，讓這樣的直線覆蓋P點的鄰域。這樣以任何方式，任何方向這個條件就可以弱化為：M在每一條這樣的直線上變化時P點都是極值點。
當自變數在在這樣的直線上變時，有沒有驚奇的發現，這完全與一元函式相同。自變數只在在這條直線上變化，二元函式變成了一元函式。而二元函式在這條直線方向上的方向導數其實就是這個一元函式的導數！
至此我們就可以用一元函式極值的研究方法來研究二元函式。
3.推導過程
取定乙個直線的方向： 點到M
這個方向上 的方向導數：
（方向導數等於梯度在這個方向上的投影， 是L的單位向量）
根據上面所說的思路，在這個方向上二元函式變成了一元函式，這個方向上的偏導數為零的點就是這個方向上的駐點。
（ 是所取直線與X正向夾角）
若對於任意T, U(T)恒為負值需要： 此時
P點為極大值點.
即 l 若對於任意T, U(T)恒為正值需要： 0,=4B^2-4AC<0" eeimg="1"/>此時 0 " eeimg="1"/>
P點為極小值點.
即 0 為極小值條件" eeimg="1"/>
若 0 " eeimg="1"/>則U（T）有正有負，說明P點在有的方向上是極大值，在有的方向上是極小值，因此P點不是 的極值點。
若 則存在唯一 ,說明在 對應的方向上二階導數為零，P是不是極值點要再看三階導的正負。
4.結語
通過以上的分析可以知道，這種公式的使用是有限制條件的，只能判斷可微的二元函式的極值，並且二階導還要不為零。明白這種思想和方法遠比公式更有價值！
5樓：真諦
我看了所有四個答案，仍覺得不夠簡潔。
經歷過高中的人，肯定看過這道題。
假設平行四邊形的兩邊是 和 ，求面積是多少？
顯然是 。
同理，將多元（二元）函式的求導當成一種對映變換，則對映之後的單位面積為
正負值各有所指。
6樓：劉梳子
上一講講解了偏導數，這一解講偏導數的應用，利用偏導數求極值。
1.用偏導數求優化問題
一元函式求極值點，利用導數，多元函式求極值點，利用偏導數。
1.1極值必要條件：（這裡用二元函式，很容易推廣到多元函式）
這裡強調是必要條件，因為兩個偏導數存在且均為0，和一元函式一致，稱為駐點。駐點並不肯定是極值點，比如下圖中鞍面：
可以看到，駐點包含三種情況：極大值點、極小值點、鞍點
舉例：1.2極值的充分條件：
先直接給出結論，然後再看如何得到的。
推導：先看乙個特例：
我們用Hessian矩陣表示為，
如何通過特例得到充分條件？
利用泰勒公式，函式可以展開成多項式的形式。
當然Hession矩陣行列式為0，也就是不定的時候，對應著退化的情況。一般要求掌握極大極小值的充分條件即可。
其實多元函式求極值與一元函式完全一致，不要被矩陣嚇到，這完全是變數變多後自然而然的推廣。
7樓：蔡晨
B^2-AC 海森矩陣(描述原函式曲率的矩陣)如果二階導數組成的海森矩陣是正定的(即任意向量經過該矩陣轉換後依然和原來的方向處於相同的趨向),
此時說明海森矩陣的特徵值是正的,則原函式為凸函式,從而說明該點是極值點,(所以為0的時候是不確定的,<0是凹函式,不是極值點)
A的正負說明了此時二階導數的方向,與一元函式的二階導意義一致,A<0,說明一階導數在連續變小,此時為極大值,>0則為極小值,實際上使用C來判斷應當也是一樣的
個人理解,可能有誤
8樓：
我曾經答過類似的題目，現搬運如下
二元函式求極值中的P(x0,y0)<0是什麼原理? - 知乎使用者的回答
\frac \\
\frac
\end" eeimg="1"/>，定義它的二階「導數」為Hessian矩陣。
這裡我們令，，，這樣就有了。
對一元函式的判斷條件做乙個模擬，把「一元函式二階導數的正負號」模擬到「二元函式Hessian矩陣的正定性或負定性」（如果你不懂正定矩陣和負定矩陣的含義，請參閱正定矩陣，當然如果你理解的話就會發現這種模擬是很自然的），這樣就有了判斷是它的乙個極值的條件是：
(1) 是負定矩陣極大值
(2) 是正定矩陣極小值
(3) 是半正定矩陣或半負定矩陣A &
B \\
B &C
\end" eeimg="1"/>，它是正定矩陣的充要條件是：
0," eeimg="1"/>且的行列式0" eeimg="1"/>。
(5) 對於，它是負定矩陣的充要條件是：
且的行列式0" eeimg="1"/>。
可見，不論是正定矩陣還是負定矩陣，都必須要有0" eeimg="1"/>，也就是說，必須要有。
為什麼多元函式全微分等於偏微分之和？
Silly penguin 從公式看 df x,y fxdx fydy f x dx,y dy f x,y f x dx,y f x,y f x,y dy f x,y 你可以嘗試根據偏微分和全微分的定義，自己剖析一下 Niiskuneiti 個人是從定義上理解的 拿二元函式 來說，的全增量 引起的函...
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剛吉訶德 a 4 upper 函式是將k僅僅進行了大寫操作。舉個栗子 就像c語言裡面的 i 1 你要用i i 1才能改變他的值。 青牛 你好。a 4 upper 是說你把k變成大寫的了，但是這個是臨時的，因為沒有儲存給a，所以print得時候還是原來的值。 Aoriel 那是因為函式有些是有返回值，...
為什麼高中函式中引數可以當成常數看待？參變分離後引數應該看成變數還是常數？
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