1樓：
之前的答案說的差不多了。以下假設是複數域的情況。
實際上在處理algebraic variety的時候，比如說，球面，我們會需要處理它上面的點集和拓撲。
一般而言對於任意乙個物件，上述兩個取決於其在歐式空間中的嵌入（Whitney embedding告訴我們任意n維的光滑流形可以嵌入2n維歐式空間）。
然而當用座標環與Zarisky topology時，這些東西統統可以用座標環的語言描述，和embedding毛關係沒有。比如球面上的閉集是對應於中的理想。
再舉個進一步的例子，algebraic curve上的點一一對應於座標環分式域的discrete valuation。
大意是把幾何的東西代數化，好處是研究方便，代數沒那麼多複雜的計算。
——以上為我的理解。
2樓：
"哲學"是這樣的：
乙個"空間"的性質可以由其上的全部"函式"的性質來反映。
affine 的情形下，variety是空間，coordinate ring就是它上面的函式，相互一一決定。
深入學習之後，這個對應變為
affine scheme 一一對應於環（所對應的structure sheaf, 這個structure sheaf 就理解成所有的函式）
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