1樓：南中國海的一條魚
函式是一種特殊的對映，它可以是數集到數集的對映，也可以是數集的直積到數集的直積的對映，甚至可以是數集到數集的集合之間的對映。中學所學的函式和高等數學課本中的函式都是數集或其直積到數集或其直積的對映，而復變函式則有可能是數集或其直積到數集或其直積的集合的對映。
函式存在反函式的條件是對於每乙個像都能唯一確定乙個原像，也就是說方程 需要有唯一解。顯然，對於函式 ，方程 的解不唯一，它沒有反函式，但 是數集到數集的集合的對映，也就是多值函式。嚴格意義上講，所有的三角函式由於都具有週期性，因而都不具備反函式，其所謂「反函式」只能是多值函式。
為了能夠根據三角函式值的大小確定角的大小，那就必須固定三角函式的乙個單調定義域才可以。因此取正弦的定義域為 ，余弦的定義域為 ，正切的定義域為 ，在這些定義域內，函式是單調的，因而也就有了反函式，分別是 ．
另外，在復變函式中，多值函式是有主值的，通常取輻角最小的那個為主值。設 ，則點 的極角可以寫成 ，相對應的任意角則是多值函式 ．輻角主值的取值範圍是 ．
我在下面關於雙曲函式的問題的回答下根據雙曲函式的定義計算出了雙曲角（即雙曲函式的引數）的表示式，並利用這個表示式求出了所有的反雙曲函式。
雙曲函式的來歷是什麼，與三角函式有什麼關係？
接下來我用相同的方式計算反三角函式，設 ，其中如果出現平方根，計算其主根（即初中教材所謂「算術平方根」）
反正弦：
此時 非負，因而 ．
反余弦：
此時 非負，因而 ．
反正切：
後面對數的輻角的取值範圍是 ，所以 （其實這樣解釋我自己看著也牽強）。
2樓：晉王兼河東節度使
已知有乙個函式A和另乙個函式B, 且B是A 的反函式，那麼就等價於函式A的定義域是函式B的值域，函式A的值域是函式B的定義域。反之亦然。
而在反三角函式中，以正弦函式與反正弦函式為例：正弦函式y=sin x的定義域為實數集R，值域為[-1，1]；反正弦函式y=arcsin x的定義域為[-1，1]，值域為[-π/2，π/2]。由此可見，y=sin x的定義域並不是y=arcsin x的值域，所以y=arcsin x並不是y=sin x的反函式。
如果一定要寫出y=arcsin x的反函式，那就是：「y=sin x，x屬於[-π/2，π/2]」。
再想得深入一點，「三角函式的反函式」是多值函式，即乙個自變數可以對應多個因變數；而反三角函式是單值函式，即乙個自變數只能對應乙個因變數。這兩者之間有著本質的區別，不要因為名字上對人的誤導而誤以為它們互為反函式。
看影象更加直觀，要多加使用「數形結合」這種方法。
定義域為空集的空函式該怎麼理解？
祥子 認為函式是滿足一定條件的集間關係是 的函式 這樣，當定義域 時，的唯一子集為空集，故若 為 的函式則 只可能為空集。假設 不是函式，則由 的逆否命題知存在 沒有或有不止乙個 使得 與不存在 矛盾。所以 為 上的唯一函式。來自J.J.Rotman,抽象代數基礎教程 LLjpcz 這個問題你看一下...
書上說反函式的導數等於原函式導數的倒數，這個怎麼理解？
可樂 給你乙個題就明白了 比如f x 2x x x 2，求 f 1 0 或許一開始不理解你會覺得既然反函式的導數等於原函式的導數的倒數你就認為它應該等於1 f 0 但其實應該等於1 f 1 因為f 1 0.或許到這裡你應該明白了，所謂反函式的導數等於原函式的導數的倒數，之所以你感覺好像有問題，是因為...
反函式影象跟原函式的一定是關於y x對稱嗎
ReIm 它只是說圖形相同，不是影象完全一樣，圖形相同指兩個影象經過平移 旋轉 對稱後可以完全重合 對於乙個實函式f x 而言，只要它是一一對應的 每個自變數只與乙個因變數對應，且每個因變數只與乙個自變數對應 並且它的定義域等於某個持有其逆向公式的函式g x 的值域，那麼f x 和g x 的影象就一...