如何求橢圓內接三角形的最大面積？

1樓：

x方向座標縮小a倍，y方向座標縮小b倍，變成了單位圓，內接等邊三角形，√3/4r即四分之根號三，再拉扯回去，便是√3/4*ab

與k，m大小無關，但k，m必有乙個等式關係

2樓：零典韋達定理

這就是題主想要的求橢圓內接三角形面積最大值的純字母解析幾何運算，希望題主可以耐心看一下，畢竟打字挺累的。。。。。

由橢圓對稱性，可設 0,m<0" eeimg="1"/>，如圖，即直線與軸的交點在軸下面。

作平行於直線的割線交橢圓於兩點。將直線往左平移，易知當往左平移到與橢圓相切時（設切點為），到直線的距離最遠，即以為底的取得高的最大值，即取得最大值。明顯有 0,y_0>0" eeimg="1"/>。

聯立，設

經過計算可得：

對求導易得在處切線方程為

因為在橢圓上，所以令（角符號省略了）

所以切線方程：

而且切線與平行，

由平行直線之間的距離公式：

所以因為平行切線，所以

所以由四元均值不等式消去：

當且僅當時取等號。

0\\m>0\end,\begink<0\\m<0\end,\begink<0\\m>0\end,k=0" eeimg="1"/>的情況同理可證，取等號條件都為。

不存在即軸時，由橢圓對稱性，可設在軸右側，則為橢圓左頂點時取得的最大值。

設 0)" eeimg="1"/>，與橢圓聯立得：

而同樣由四元均值不等式：

所以當且僅當時取等號。時當且僅當時取等號。

實際上去掉 b" eeimg="1"/>這個條件，結果還是。

而且，橢圓內接三角形取得面積最大值時，的重心為座標原點。這個用橢圓的引數方程設三個點，以及運用三角形面積的三階行列式公式，運用重心在座標原點的條件：，再加上一點三角恒等變換就可以得出此結論了。

當然這種涉及面積的題還是把橢圓仿射成圓快一點，第一次見這道題時，老師讓我用仿射做一下，而我的直覺也是圓內接三角形為等邊三角形取得最大值，最後還是老師讓我不要憑感覺，而應實際證明一下。下面引用我另乙個回答的一部分放上用仿射變換的方法。

有哪位大佬講一講柯西不等式和三元均值不等式嗎？

對於B選項，，錯

對於C選項，由投影面積法：，對

對於D選項，由於涉及到面積，可以考慮仿射變換。問題轉化為單位圓的內接三角形的面積的最大值。

固定三角形ABC的一邊AB，過點C作直線AB的平行線，易知該平行線與圓相切時（且點C在距AB較遠的一端時），C到AB距離最遠，即以AB為底的三角形ABC取得高的最大值，即面積的最大值。此時高CD明顯過圓心E。

由，可設：，則：

所以為使式子齊次以便使用（四元）均值不等式，我們將式子兩邊平方：

在將單位圓仿射成橢圓後，單位圓內接三角形變成橢圓內接三角形，對應的面積最大值變為，代入，得，對。

2021.9.4補：在這一步用對求導也是比較方便的（比較通常的操作）。

3樓：sumeragi693

作座標變換，那麼原橢圓就變成了單位圓。因為放縮之後面積變為原來的，所以求出單位圓內接三角形面積的最大值以後，乘以乙個就得到原橢圓的內接三角形面積的最大值。

而圓內接三角形中，面積最大的是等邊三角形。單位圓中內接等邊三角形的邊長為，代入等邊三角形的面積公式得，所以原橢圓的內接三角形面積最大值為。

4樓：檸鴛

那條直線多餘了，就是求橢圓內接三角形面積最大值。可用仿射變換把橢圓伸縮成單位圓，容易求得圓內接三角形面積最大時為正三角形，伸縮回橢圓後面積乘上ab即可。