1樓：傻子.傻問題殺手
引理1：半徑為r圓形的外接三角形，固定某個角，當另外兩個角相等時，三角形面積最小。
設另外兩個角分別為2*alpha,2*beta,如下圖
S=1/2*r^2*[ctan(alpha)+ctan(beta)+ctan(pi/2-alpha-beta)]
易知最後一項 ctan(pi/2-alpha-beta)為定值
令 c=tan(alpha/2+beta/2)
d=tan(alpha/2-beta/2)
0<=d另外一半
ctan(alpha)+ctan(beta)
=（1+cd)/(c-d)+(1-cd)/(c+d)
=2c(1+dd)/(c^2-d^2)
易知c是常數，d大則分子大，分母小，所以d=0時，原式有最小值。
引理2：半徑為r圓形的外接等腰三角形中，頂角為pi/3時，三角形面積最小。
ctan(alpha)+ctan(beta)=2/c
ctan(pi/2-alpha-beta)=tan(alpha+beta)=2c/(1-c^2)
S/r/r=1/c+c/(1-c^2)=1/c/(1-c^2)
已知c^2+1/2*(1-c^2)+1/2*(1-c^2)=1
則 c^2* 1/2*(1-c^2)* 1/2*(1-c^2)<=1/27*1^3
當且僅當 c^2=1/2*(1-c^2)，即c=1/3 sqrt(3)，上式取等號，易知此時頂角為pi/3
c*1/2*(1-c^2)<=1/9 sqrt(3)
c(1-c^2)<=2/9 sqrt(3)
所以S>= r^2 *3/2 sqrt(3)
2樓：一葦之所如
設三角形三邊為a，b，c，內切圓半徑為r
證明挺長的，不打字了，直接上圖
試了很多種方法，用角表示面積，或者用周長轉化，甚至建了個系...變數都太多。最後還是回到了不等式。
過程有點冗長，應該能再精簡一點，就不化簡了23333
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