1樓：onsight
如果是銳角三角形，要滿足
1.BC兩點在AO的連線兩側
2.A到BC的距離大於半徑
則1/2×1/2=1/4，而直角三角形的概率為0，所以鈍角三角形概率為1-1/4=3/4
2樓：
任取三點，三角形為銳角，等價於：
根據貝葉斯：
很顯然：
設 ，那麼
所以四點包球的情況，其實也很簡單。任取單位球面三點 ，構成球面三角形。其球心對稱點為 ，那麼如果點 ，則四點包圓。以下所有三角形都是指球面三角形。
其等價於：
且貝葉斯：
顯然 ，而且
顯然：那麼所以
3樓：
答案當然是1/4 0 3/4，補充乙個解法，可以轉化成規劃問題解。
在圓中，角度等價於弧長，因此三角形分類等價於對應弧長最大值是否大於半圓周。
4樓：蕭蕭
我在面試香港的一家量化私募的機器學習崗的時候，那個面試官不太喜歡我。
你簡歷上寫著你高中數學競賽全國一等獎，我便要考你一考。
乙個圓上找三個點，組成銳角三角形的概率是多少？
我思考了一下說：
emm這個可能要用卷積公式，我得算算。
說著拿著筆就要算。
面試官突然制止了我：
這題心算就夠了。
我望著他。
他得意洋洋地望著我：
「給你五分鐘」
我思考了一下，
1/2。
我脫口而出。
面試官半眯著眼睛問我：
為什麼？
我說：好吧，我先選個點，然後做個直徑。
然後就把圓分成兩份啦。
然後要選兩個點。
如果兩個點選在同一邊，那就是鈍角三角形，否則就是銳角三角形。
然後呢，可以看成在無限並且一樣多的紅球與籃球筐裡摸出兩個球，一紅一籃概率1/2.
我得意地看著面試官。
不到兩分鐘。
面試官也得意地看著我：
確定？我從他表情裡看出了陰險的味道。
我思考了一下，如果兩個點選擇不同邊，那角ABC與角ACB是銳角無誤。
哦不對！還有角BAC。
這個怎麼選？
時間一分一秒過去，面試官得意地看著我，
五分鐘快到了。
我脫口而出：
1/4面試官一臉嚴肅地看著我：為什麼？
其實這個時候我還不知道為什麼1/4，但從他的表情裡我得知我猜對了！
我突然靈光一閃，自己也不知道自己說了什麼。
對其中乙個點做圓周的對稱點，這個點如果比另一邊的點離A點更近就是銳角三角形，否則是鈍角！。
而隨機在半圓上找兩個點，乙個點比另乙個點離A點更近的概率，是1/2！
我看了看手機：
正好五分鐘。
面試官收起了笑容。
而我被刷了。
5樓：
三個頂點在同乙個半圓弧上是鈍角三角形，概率是2×0.5=0.25
三個頂點，有乙個頂點和另外兩個不在同一半圓弧，是銳角三角形，概率是3×2×0.5=0.75
兩個頂點為直徑時是直角三角形，根據上面算的這個概率自然是0。其實這個最好理解，首先任意選兩個頂點，若直角三角形，第三個頂點只有兩種可能，但是第三個頂點實際上有無窮多可能，所以概率是0。
6樓：Near
任取三點設為ABC，AA』為直徑。
點A是鈍角三角形中銳角點的概率為1/2(點C落在弧ABA』上)。
1/2=隨機三角形任取一點是鈍角三角形中銳角點的概率=2/3*三角形是鈍角三角形的概率。
所以三角性是鈍角三角形的概率為3/4。
所以三角形是銳角三角形的概率為1/4。
7樓：keghost
首先，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中，只有銳角三角形的外接圓圓心在其內部。
問題等價於是銳角三角形的概率是多少。
任取不過圓心的弦AB，作為三角形的一條邊。
作過A的直徑交圓於A'。
作過B的直徑交圓於B'。
則劣弧AB=劣弧A'B'，設其對應圓心角為θ。
則C落在A'和B'點，△ABC是直角三角形，弧長度為0；
C落在劣弧A'B'間，△ABC是銳角三角形，弧長度為θ；
其他為鈍角三角形，弧長度為是2π-θ/。
f(θ)=θ，該函式對θ∈(0，π)積分，得銳角總長度π/2。
g(θ)=2π-θ，該函式對θ∈(0，π)積分，得鈍角總長度3π/2。
則銳角:鈍角=1:3，所以銳角為1/4。
8樓：賈湖圖
也可以試試暴力模 (擬)？
在單位圓上取隨機三個點，根據圓心角計算三條弦長，然後判斷是銳角、鈍角還是直角三角形，重複這個過程N次，可以根據頻率估計出銳角、鈍角、直角的概率
N取大一些。
#!/usr/bin/env python# -*- coding=utf-8 -*-# @Author: zhusinan
import
numpy
asnp
defsimulation(N
):obtuse
,acute
,right=0
,0,0
for_
inrange(N
):theta=np
.random
.rand(3
)*2*
np.pitheta
.sort
()theta_1
,theta_2
,theta_3
=theta
side=[
chord
(theta_2
-theta_1
),chord
(theta_3
-theta_2
),chord(2
*np.pi
+theta_1
-theta_3
)]side
.sort
()side_1
,side_2
,side_3
=side
judgeFlag
=judge
(side_1
,side_2
,side_3)if
judgeFlag==-
1:acute+=1
ifjudgeFlag==1
:obtuse+=1
ifjudgeFlag==0
:right+=1
returnnp.
array
([acute
,obtuse
,right])/
(N*1.0
)def
chord
(theta
):if
theta
>np.
pi:theta=2
*np.pi
-theta
return2*
np.sin(
theta/2
)def
judge(s1
,s2,s3
):if
s1**2+
s2**
2>s3**2:
return-1
elif
s1**2+
s2**
2 return 1else :return 0acute ,obtuse ,right =simulation (1000000 )print ('acute: \t\n obtuse: \t\n right: \t\n'. format (acute ,obtuse ,right ))輸出結果 好吧，其實我就是想驗證一下…… 9樓： 銳角三角形，即圓心在三角形內。首先選兩條直徑L1,L2（概率為1，兩條直徑重合的概率為0），在任意確定圓上一點為C，選好的兩條直徑L1任意挑乙個端點作為三角形頂點，對L2同樣操作，一共四種情況，僅有一種為銳角三角形，所以1/4。 10樓：好地方bug 我來答一波！！不用微積分！！ 丟擲結論，銳角三角形的概率是 ，鈍角三角形的概率是 ，直角三角形的概率是 。 首先考慮最簡單的直角三角形，要在圓上構成直角三角形，必須保證這個三角形的一條邊是圓的直徑： 而要在圓上任取兩點構成直徑，這個在概率空間上的測度是 。 我們用 表示銳角三角形的概率，用 表示鈍角三角形的概率。 我們設在圓上任選三個點能構成的所有銳角三角形的集合為 ，鈍角三角形的集合是 。如果他們都是有限的集合，那麼有 ， 。 很不幸的是，顯然 都是無限大的集合。那麼我們要怎麼才能比較無限大的集合的大小呢？答案是構建對映。 對於乙個銳角三角形 來說，取點 過圓心 做射線交圓於點 ，那麼由於 ，所以 \frac" eeimg="1"/>，即 是乙個鈍角三角形： 同樣地，我們能得到鈍角三角形 。 於是我們能說任意乙個銳角三角形對應三個鈍角三角形。 那反過來呢？反過來顯然是個可逆變換。 對於乙個鈍角三角形 來說，不失一般性，設 \frac" eeimg="1"/>，從 過 做射線，交圓與 ，類似得，容易證明 。 於是我們又能說，任意乙個鈍角三角形對應乙個銳角三角形。 所以得出 ， 。 留個作業，在球面上任取四個點，構成的四面體包含球心的概率是多少？滑稽。 11樓： 其實立體幾何也是可以解的哦。 A+B+C=180，這樣就有了乙個三角錐區間。當然，我們只要用到那個等邊三角形那一面 是銳角三角形的立體區間就是A<90,B<90,C<90。就是乙個立方體。。。 這個立方體對應在等邊三角形。。。就是 一眼就看出，銳角是0.25 鈍角0.75 直角三角形對應的。。。只是三條邊，所以面積佔比是0！ 12樓：ljyfree 三角形的三個頂點A/B/C都在圓上 (1)先任意在圓上畫一條直徑，將圓均分成Part1和Part2(2)在直徑和元的兩個交點中，任選乙個作為A(3)在圓上除了兩個交點外，任選乙個點作為B，那麼這個B點一定是落在Part1或是Part2 (4)此時只有兩種情況，而且機率各是50%如果C和B在同乙個Part上，那麼三角形是鈍角三角形； 如果C和B在不同的Part上，那麼三角形是銳角三角形 13樓： 取極座標下單位圓。 取A點。不失一般性，設A點所處角度為0。 取B點， B點角度 t 在(-pi, pi]的範圍內均勻分布。 即B點處於(T, T+dt)中的概率為dt / 2pi取C點，討論B點角度 t t＞0，則C在(-pi, t-pi)的範圍內時，ABC為銳角。 t＜0，則C在(pi+t, pi)的範圍內時，ABC為銳角。 以上兩個事件概率都為 |t| / 2pi 最後要求的是：|t| dt / (2 pi)^2 對 t 從 -pi 至 pi 積分 答案是 1/4 14樓：張正雄 （有錯誤，慎看） 銳角為1/4。 思路：假設有乙個銳角三角形ABC，那麼其外接圓的圓心O點一定在三角形的內部。 找到ABC點關於O點的對稱點DEF，連線BD，CD，AE，CE，AF，BF。 那麼ABF，ACE，BCD是鈍角三角形，因為其三角形外接圓圓心O點在三角形的外面。 所以在乙個圓中如果找到乙個銳角三角形，那麼就對應有三個鈍角三角形。 由於出現直角三角形概率為0（不可能事件），所以銳角三角形出現概率為1/4。 傻子.傻問題殺手 引理1 半徑為r圓形的外接三角形，固定某個角，當另外兩個角相等時，三角形面積最小。設另外兩個角分別為2 alpha,2 beta,如下圖 S 1 2 r 2 ctan alpha ctan beta ctan pi 2 alpha beta 易知最後一項 ctan pi 2 alp... 雲之君兮 其實問題可以簡化為以下等價形式。兩個點的座標為 0,0 a,0 第三個點落在x a以及x 0區間的概率是多少？這個區間極限下就等於了原來題目的鈍角三角形區間了。很明顯極限為1，也很容易看出來直接和銳角三角形的概率為0。雖然有點反直覺。 toptotip 題目中的 任意 含義不明確啊。比如說... 八里土人 建議題主，拿三根不一樣長的棍子擺乙個三角形，固定好某幾個元素 邊啊，角啊 然後看其他元素還能不能動 這個動，對於邊來說就是拉長或縮短，對於角來說就是角度變大或變小 如果能動說明固定的值不夠證明三角形全等。如果不能動說明可以。舉個例子，sas可以證明全等，因為你固定了倆邊和他們的夾角後，另乙...如何證明圓的外接三角形中正三角形的面積最小？
平面上任意三角形是鈍角三角形的概率是多少？
除了直角三角形，還有什麼三角形能用SSA證明全等？