1樓：akazch
度量的定義是滿足正定性，對稱性和三角不等式的乙個二元函式。正定性和對稱性的要求很好接受，但是三角不等式的要求就不是那麼直觀了。
三角不等式其實是要求度量（或距離）應該是集合中兩點的「直線」距離，即最短距離。若不滿足三角不等式，即 \rho(x,z)+\rho(y,z)" eeimg="1"/>，說明存在乙個點 ，使得」折線「 這條路徑比「直線」 這條路徑要短，這不符合我們在歐氏空間中的」直線距離最短「的直觀認識。所以三角不等式其實是要求定義的距離函式是兩點間的」直線「距離。
我自己其實在自學點集拓撲中，在看到三角不等式這個要求的時候不是很理解。以上是我在What Is Metric?看到的解釋，我覺得比較好接受。
2樓：陸大達
所謂不滿足「三角不等式」應該是說兩邊之和可能不大於第三邊、或者可能不小於第三邊，不確定。如果是兩邊之和（確定）不大於第三邊，那麼就是滿足反向三角不等式，會由此匯出度量為負的另外一類度量集合（或許也有意義）。
我在研究機器學習裡度量時涉及到「動態時間伸縮」距離dynamic time warping（簡稱DTW），它是不滿足三角不等式的，因此DTW距離下無法應用均值法求向量組質心（可以嚴格證明滿足三角不等式是均值法求取質心的必要條件），也因此無法應用於均值聚類（KMC）場合，但DTW還是被廣泛應用KNN、DBSCAN、層次聚類等場合。但是由於DTW不滿足三角不等式，在應用到KNN時總覺得「有點怪怪」的，舉個例子，假設甲、乙、丙三個物件，甲、乙分屬於兩類（人工先驗判定），丙依據1NN判作甲類；則如果把丙作模版，則甲和乙都依1NN而歸為丙所在類，從而甲乙屬於同類了（甲乙距離可能大於甲和丙、乙和丙的距離和，從而大於甲丙距離，也大於乙丙距離）。反之，如果滿足三角不等式，發生這種情況的概率就較低了。
總之，DTW不滿足三角不等式確實有點「遺憾」，關於DTW幾何如何求取質心也是乙個機器學習的「小眾」的熱點。
3樓：tingbopku
我覺得樓上一位同學說的對, 就是沒有三角不等式的距離空間不符合常識, 然而卻並不影響體系的自洽. 這樣的空間未必不存在, 只是還沒有找到現實中的對應而已, 就好像非歐幾何.
乙個比較明顯的counter-intuitive在於, 如果不要三角不等式, 則乙個"柯西列"可以同時收斂於兩個間距不為0的點.
假設點列x_k, 收斂於點a又同時收斂於點b, 有三角不等式時, 可以很容易證明d(a,b)=0, 因此a和b為同一點. 而沒有三角不等式則沒有這個結論, 甚至點列可以收斂於乙個集合.
4樓：大野人007
目前我們使用的距離（度量）都是滿足三角不等式，在傳統的教材裡面距離度量的定義就是需要滿足四個條件：非負性，對稱性， 不可區分之同一性 （identity of indiscernibles），和三角不等式，這樣的度量的物理意義很簡單明瞭，大家都可以接受。
在機器學習裡面的度量學習中，identity of indiscernibles這一條不成立了（當矩陣是半定的時候），我們也預設稱之為度量學習，只是不是傳統意義上我們定義的度量。
所以，我認為只要你能找到一種度量或者距離，它能擁有物理意義，大家都可以接受，也可以不滿足三角不等式，關鍵看能否能解釋清楚，有意義價值。
5樓：孤石
我覺得最關鍵的是要捕捉到微分學建立和極限之間密不可分的關係。 仔細想想，極限的唯一性是依賴於三角不等關係的。 所以一旦沒有三角不等關係，沒有極限的唯一性，就沒辦法建立我們的歐氏微分學
6樓：
三角不等式最重要的一點在於將不同的點與它們的距離聯絡在一起。如果僅滿足正定性和對稱性，我們甚至都沒法保證兩個球的交中間可以有乙個小球。這將導致距離無法在X上誘導乙個拓撲，自然也無法研究與距離相關的極限和連續，那麼我們要它何用。
7樓：「已登出」
不好意思，我剛才有種情況沒考慮，就是有的三元組滿足，有的不滿足的情況。如果是這樣，那麼空間可以是非平凡的。例如，上直線全體構成的空間，以歐式距離誘導的集合間距離為度量，這個空間在平行直線間滿足三角形不等式，若取三條直線有且只有兩條平行，就會出現反三角形不等式。
因為這樣的空間很平凡。
首先我們假設空間上的度量滿足，
1. 正定性
2. 同時性
3. 對稱性
4. 反三角不等式
d(x,z)+d(z,y), \forall x,y,z\in\mathcal" eeimg="1"/>
則，令有2d(x,x)\Rightarrow d(x,x)<0," eeimg="1"/>
與同時性矛盾，故這樣的空間
現在我們把條件4.變弱，反三角不等式三個變數必須不全相等
d(x,z)+d(z,y),\forall x\neq y\,or\,y\neq z\,or\,z\neq x." eeimg="1"/>
則令, 有d(y,x)," eeimg="1"/>與對稱性矛盾。故空間
下面繼續把條件4.變弱，反三角不等式三個變數必須互不相等
d(x,z)+d(z,y), \forall x\neq y\,and\, y\neq z\, and\, z\neq x." eeimg="1"/>
則d(x,y)+d(x,z)," eeimg="1"/>從而 d(x,y)+2d(x,z), " eeimg="1"/>
因此 與正定性矛盾。故空間
8樓：李弢
首先，這是歐式空間度量的自然推廣。二維的三維的是這樣，我們認為度量都應該這樣，這是數學中常見的抽象方法:把本質的性質提煉出來當做定義，原來的常見的結果對抽象的一類東西都可以用了。
群、線性空間等定義都是這麼定義的。
其次一點我認為比較有用的，也是上面的回答沒有提到的，就是在數學證明過程中經常需要這一條。最顯著的就是分析中常用的逼近技巧，先證明對好的函式成立，對一般的函式用好的函式去逼近結論也成立，這就需要三角不等式來控制誤差。這種方法在實分析，泛函分析，方程，調和分析中都特別常見，是標準的技術。
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