1樓：
為了方便讓向量1和基向量在乙個方向，記為（a,0)，再隨便取另乙個向量2，記為（b,c)。向量1和向量2點乘＝axb+0xc＝ab
如果我們假設向量除法存在，並且向量除法是向量點乘的逆運算，那麼就會有結論：ab除以向量（a,0)＝向量(b,c)。
這個時候你再拿個向量3（b,d)把上面的事情再幹一遍（c≠d），就得到了結論：ab除以向量（a,0)＝向量(b,d)。前後結論不一樣了。
2樓：小滑
手機打字，之後電腦會把公式做的漂亮點
點乘（cdot）
c是標量，所以我們的任務是通過a與c求出b。
好了，現在我們有的是a與c，b怎麼求呢？其實也簡單，我們把a的方向記作x軸正向，並將起點與原點對齊。然後取直線 ，那麼b就顯而易見了，從原點出發，任何終點落在 上的向量都是乙個b，所以我們就解出來了方程並且證明了對於乙個標量c，a與b不是唯一對應的（單一方向的），也就是說a，b，c三者在這個方程中不滿足任意給定兩個第三個確定的關係，所以顯然沒有逆運算（反函式）。
叉乘（times）
叉乘是在三維空間進行的，參考上述方法，只要找到b對a，c不是一對一的就可以證明。
顯然c垂直與a，我們把他們放在乙個起點，即為原點，a指的方向為x軸正向，而c為z正向。我們取另乙個向量p，p的起點在a上，且總是指向y正向。 ，這樣p在移動時，從原點指向p的終點的向量即為b，顯然也有無窮個，所以不可逆（無反函式）
3樓：土豆
通常所謂的除法運算，是指乘法運算的逆運算。
只要找到乙個合適的乘法運算，且滿足結合律以及運算的封閉性就可以定義除法了，注意這裡並沒有要求乘法定義滿足交換律。
遺憾的是，向量之間無法定義滿足封閉性以及結合律的乘法運算。例如向量的內積運算不滿足結合律，也不滿足封閉性。外積運算也不滿足結合律和封閉性。
當然，如果只研究二維向量的話，是可以定義除法的。仿照複數除法定義就行了，複數可以看成乙個二維向量的嘛。當然也可以仿照四元數的除法定義來定義四維向量除法。
4樓：
點乘是沒法誘導出向量除法的，因為點乘結果不是向量。
，與 都垂直。
首先如果 不垂直，那麼這樣的向量不存在。如果垂直，那麼首先可以發現 是符合要求的。不過，這個解不唯一。對於滿足上式的任意 ，我們有
。這唯一的可能是 ，從而上面方程的所有解為，有無窮多個。
所以通常意義下除法也不太好定義。不過你也可以這麼看：把除法的結果定義為集合
。(猜猜為什麼要加正負號？)這看起來很奇怪，不過在微積分裡已經有類似的操作：
不定積分作為求導的逆運算，其結果是一族函式，正如這裡的一族向量。如果不垂直也可以形式地把除法的結果定義為空集 。
這有什麼用呢？我也不知道~
PS:理論力學第一次作業就有這玩意，解上面那個向量方程
5樓：張遠山
向量可以有除法，但是因為目前的定義不完備而顯得沒有除法，至少對於平面向量是如此，點乘和叉乘都只屬於完整乘法(或稱為全積)的一部分。
6樓：半個馮博士
標量除法是乘法的逆運算，那麼向量除法我們不妨定義為乘法的逆運算。
對於這個除法它應該滿足這些條件
1、它的運算元素都是向量
2、它的「分母」不能為零
3、它是乘法（點乘）的逆運算
4、乘法的運算結果是標量，那麼這個除法的運算結果也應該是標量
綜合上面這些內容我們可以這樣定義，兩個向量相除就是其中乙個向量乘以另乙個向量的「倒數」。那麼，只要定義好「倒數」，就可以了。
為了看起來順眼一些，我們暫且將它稱為「逆向量」。
（注意這個說法是非正式的）
對任意向量 ，有另外乙個向量 ，使得：
那麼就稱 是 的「逆向量」。
乙個向量由兩個條件決定：長度和角度，那麼不妨設
：長度為 ，角度（從參考軸出發繞過的最小角度）為 ，這些量已知。
：長度為 ，角度（從參考軸出發繞過的最小角度）為 ，這兩個量未知。
它們乘積為1，即是：
夾角是： 或者 ，但二者余弦相等。
那麼現在的問題就變成了，如何由（1）式確定標紅的兩個量？
顯然，這個問題的解是無窮多個！
這種限定通常都是希望結果能夠變成最簡單的。這裡最簡單的設定就是讓這個長度最小：那麼就是在滿足（1）式的條件下，取 最小的那個值。
這個問題完整表述出來就是：
由於 取最小與 取最小是等價的，所以直接這樣寫問題會變得更簡單。
注意約束條件可以建立起角度與長度之間的關係：
這個問題就可以轉換成乙個無約束優化問題：
上取到。那麼就有 或者 。而此時最小值為： 。
代回就能得到：向量 是乙個長度為，角度為或者 的向量。
如果再加限定，那麼的「逆向量」就是與它方向相反，且長度為它的倒數的向量，我們就估且記作。
有了這個結論，那麼要定義除法就非常容易了：
向量 1、上面定義的「逆向量」也是向量
2、顯然分母不能為零，也就是「逆向量」的長度不能為零。
3、上面定義的除法，的確可以作為乘法的「逆運算」。且一定有：
4、根據上面的定義，顯然這個「除法」的結果就是標量。
7樓：靉靅浮雲
除法當然可以有。沒有唯一逆的運算，我們可以談論它的逆的集合。
比如說點積 a·b=x，我們可以說，和b一樣在a方向的投影相等的所有向量的集合都是x除以a的結果。叉乘也類似。如果認為這些逆元素是等價的，我們就定義了除法。
雖然聽起來在取巧，但是它至少在很多場合是有用的。
舉幾個例子，比如作不定積分時，我們認為相差任意常數的原函式是等價的，所以積分是微分的逆運算。線性微分方程的解上可以相差任意的齊次解，在忽略這個差異的層面上我們說線性運算元是有逆的，它的逆就是所謂的基本解。類似地，不是方陣的矩陣也有所謂的廣義逆。
概括性地說，我們做某個操作時，很可能會不可避免地丟失一些資訊，但保留了操作物件的其他資訊。當我們企圖恢復這個操作時，我們只能拿著保留下來的資訊去尋找滿足條件的一類原像。如果覺得這些原像都能接受，或者在其他給定條件下你能從原像裡挑乙個墜吼的，那不就是所謂的逆了麼?
當然也有沒有逆的情況，這時只要把不能做除法的特例仔細排除就好了。
關於這些思想的嚴格表述，可以看看一些代數學的書。但是未必推薦去仔細看，我是搞物理的，這些直觀的影象我已經夠用了。
8樓：C.Jie
向量是向量空間裡的元素，向量空間是over乙個域k上的abel群，滿足那幾條公理，向量之間只存在加法(群運算，是交換的)，還有標量積，但兩個向量是不存在乘法的！
有人說點積和叉積，首先點積不是元素之間的運算，元素之間的運算應該保證元素a,b運算後得到另外乙個元素c,即a.b=c,但點積是=k，k是這個向量空間上的域裡的元素，或者說就是個數，不是向量。實際上向量空間是純代數定義，而內積是內積空間才有的結構，是拓撲的，很多無窮維的向量空間是沒辦法定義內積的！
另外叉積滿足兩個向量運算得到另外乙個向量，但它不滿足乘法要求的交換律，是反交換的！而且x×x=0，你看乘法是沒有這種性質的吧！沒有乘法，自然也就沒辦法定義乘法的逆，除法了！
實際上，叉積這個定義實際上是只有3維的向量空間才有的結構，因為叉積實際上是在向量空間的對偶空間定義的，比如z這個向量對應的實際上可以對應dx∧dy,熟悉一點的寫法就是x×y,∧是楔積，是反交換的，因為3這個維數很特殊，才有這種比較特殊的對偶關係，到了4維或者其它維數就不行了
9樓：暮紫駿
如果我們不做額外定義的話，這樣的除法是不存在的。
主要原因是，當a和k確定，向量ab=k並不能唯一確定b，這樣除法就沒意義了。
對於叉積也一樣
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