1樓：南中國海的一條魚
初中數學中有一些幾何原理看似公理實則定理，比如「兩直線平行 同位角相等」，比如「兩點確定一條直線」，比如「兩點之間線段最短」，比如「平行於同一直線的兩直線平行」，比如「垂線段最短」……
要想證明這些定理，那就只能等自己的「道行」更深一步了，也就是說這些問題很有可能到了大學階段，通過自己的思考才能給出證明。
切線的定義並不全是按照課本上所說的來的。課本中所說的圓的切線只是眾多切線中的乙個特例，因為它具備只和圓有乙個公共點的性質所以才這樣定義。而切線真正的定義是「沿著曲線運動時物體運動的方向」（其實這樣說也不嚴格，切線在高等數學中有專門的定義）。
那麼題主所聞到的證明，就只能借助高等數學的知識來證明了。等題主上高中學過導數以後，就能多少看懂一點。
將圓心與座標原點重合，則圓的方程是 ，圓的引數方程是
對 求導，得
就是切線的方向向量，而 就是半徑方向（座標是有序數對/陣列，因而座標可以表示乙個有方向的量的大小和方向，有方向（指幾何空間方向）的量，稱作向量或向量）。
2樓：牛排包
這個問題和圓的切線的定義有關。如果用圓心到直線的距離來定義切線，圓心到直線的距離等於半徑就是相切，大於半徑就是相離，小於半徑就是相交。這樣就可以很容易證明你的問題。
這種定義可以很方便的證明過圓上一點的切線與該圓僅有乙個公共點。用反證法，假設還有乙個交點，那麼便有一條弦，連線兩交點與半徑，便得到乙個等腰三角形，用等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線三線合一定理，很容易就能推出矛盾。
第二種思路，用切線與圓有且只有乙個公共點來定義切線，用反證法證明你的問題。假設不垂直，做出垂線，則圓心到垂足的距離小於半徑，於是垂足在圓內部。做出切點關於垂足的對稱點，可證此點也在圓上，與切線的定義矛盾。
問題得證。
如果用極限來定義切線的話，問題的證明就需要用到極限的概念和計算，不詳細寫了。
祝學習進步！
3樓：
連線圓心和切點，根據圓和直線的對稱性，得到的兩個角相等且和為180°，故兩個角均為90°，即圓的切線垂直於過切點的半徑。
Q.E.D.
4樓：
這個定理過於直觀，典型的「這也要證」系列.
如圖，直線 切圓 於點 ，證明 .
證設圓 半徑為 ，過圓心 作 的垂線，垂足為 . 故 .
因為 是圓 的切線，所以 不在圓的內部，也就是 .
所以 ，從而點與 重合， .
上述證明中，為什麼由 可以得到點與 重合？為什麼圓的切線上的點不會在圓的內部？
第乙個問題很好說明。而第二個問題看起來是直觀的，顯然的，但這不是公理，是可以證明的。我們把這兩個問題留給題主。
5樓：醉看墨花月
我記得當初課本上也沒用數學語言證明，但是文字證明是有的。大致是切線與圓只有乙個交點，且圓的對稱軸是直徑，圓上垂直於直徑的弦與圓同樣關於該直徑對稱。由此可知，當該弦沿著垂直於該直徑向圓外平移時，弦長變短，對稱性依然不變。
當到達切點位置時，直線與圓的交點變成乙個，對稱性不改變。文字證明大致是這樣。數學語言會用的極限的表述，可能變得簡單一點
如何證明物體自由下落時是垂直於水平面的呢？
這個本身誤差非常小，按照地球物理的理論應該是垂直於重力等勢面，也就是樓上傳的那張圖。工程如果只是指狹義的工程的話，是可以忽略的，地球物理學中，重力需要經過高程矯正，中間層矯正，緯度矯正。也就只有幾mgal，1mgal 10 5g。因此影響非常小 王沛宇 不一定垂直 水平面是重力勢能的等勢面，重力勢能...
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