1樓：ldkhtys
將 看作線性變換 。
因為 ，所以
。同理 。
所以 。
另一方面 。
綜上 ，並且等號成立當且僅當 。
具體的當 時，令 ，其中 可逆，則等式成立。
如上面乙個回答所說，可以找到一組基，使得滿足條件的矩陣 都為如此形式。
分別取 的一組基 ，可以證明
是全空間的一組基並且滿足條件。
ldkhtys：線性代數解題技巧-選取合適的基
2樓：
記錄V為全空間, dim V=n。
令X=AB, Y=I-X=BA. 則X(I-X)=ABBA=0. 所以X^2=X 所以X為投影矩陣。
令V_1=Im X, V_2=ker X. 因為X 為投影陣， V_1,V_2互補。 Y=I-X也是投影陣， ker Y=V_1, Im Y=V_2.
dim V_1=dim Im(ABAB)<= dim Im(BA)=dim V_2.
同理有dim V_2<=dim V_1. 所以dim V_1=dim V_2=n/2. 所以n是偶數。
AX=AAB=0, 所以V_1=Im X 屬於 ker A。 所以 dim ker A>=n/2 所以
n/2=dim V_1=dim ker BA>=Im ker A>=n/2. 所以所有不等號取等號， V_1=ker A。所以r(A)=n-n/2=n/2.
同樣的V_2=ker B。r(B)=n/2. 自然有r(A)+r(B)=n
按照這個思路，你稍微想想就會發現A,B其實是下面這樣的對映。
我們把 V等同為, 存在乙個V_1-> V_2的同構 g, 有
A為對映(x,y)->(g^y,0). B為對映(x,y)->(0,g(x)).
實對稱矩陣在高等代數中的地位和作用是什麼呢？
乙個人 實對稱矩陣一定正交相似於對角陣，因此我們可以將二次型x Ax化簡為如下形式 L1y1 2 Lnyn 2，其中L1 Ln是A的n個特徵值 lambda打不出來 由此可以發現A的正 負 特徵值個數就等於二次型的正 負 慣性指數。這個結論可以用來判定二次型的正定 負定性，算是二次型裡的乙個簡單應用...
高等代數有哪些實際應用？
很正常，我當初學的時候也是一臉懵逼。應該說正常人都會一頭霧水搞不懂為什麼要定義這些奇奇怪怪的東西。指到後來學了學了量子力學才對高代加深理解了。教材推薦櫻井純的 現代量子力學 這部書現在有中文版了，英文看著吃力的人可以考慮這中文版。 你在學中學數學時，有沒有學過高階線性遞推數列？你在學常微分方程的時候...
線性代數與高等代數的區別是什麼？
可愛的多心超人 高等代數是代數學發展到高階階段的總稱，它包括許多分支。現在大學裡開設的高等代數一般包括兩部分 線性代數初步 多項式代數。高等代數在初等代數的基礎上進一步擴充了研究物件，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合 向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不...