1樓：
論潮流，肯定是mathematical foundation of data science. 今年看看job market有多少數學系在招data science 的AP. 都快跟純數學招人一樣多了，這還不是潮流嗎.
反觀純數，基本就是退休乙個招乙個。
各大學校都在搞Data institute, 有些甚至招兩位數的TTAP, 一般是數學，統計，計算機和其他系聯合搞的，AP 一般掛在最對路的系。今年ICM 也有不少的invited speaker是做data science，NSF 也投了接近18M 的經費給各大數學，統計，OR系來做Tripod phase I.
2樓：Sun Ao
拋磚引玉吧。我覺得乙個已經持續很長時間，並將持續下去的潮流是對moduli space的研究。
從我個人的理解來說，moduli space是對範疇觀點的繼承和具象。範疇論的觀點告訴我們，對數學的研究不僅是要研究集合以及上面的結構（Bourbaki的觀點），還得研究物件和他們之間的態射，以及範疇之間的自然變換。當然現在有更新的觀點，已經超出我的認識了。
一、Atiyah-Hitchin-Singer對flat connection moduli space的研究。這個研究最後由Donaldson發揚光大，發展出了四維流形微分結構與四維流形的bilinear form的關聯。幾何拓撲之後的發展，例如Floer theory，monopole Floer theory，instanton Floer theory，等等，大多根源於此。
大概來說，想法就是研究bundle上特定的connection構成的moduli space。有的moduli space好（例如monopole Floer theory），那麼研究就更簡單一些；反之有的moduli space不夠好（instanton Floer theory），研究起來就困難一些。但總而言之，出發點是研究connection的moduli space。
二、Gromov研究黎曼幾何的觀點是，要研究所有的metric spaces構成的moduli space。 Gromov在這個moduli space上引入的metric（Gromov-Hausdorff distance），並且發展出了部分的緊性。這個思路被很多人繼承（例如Cheeger-Colding theory對Ricci space的研究）。
最終這個理論導向了兩個重要的結果。乙個是Perelman對Poincare猜想的證明；另乙個則是Chen-Donaldson-Sun的結果。
三、Geometric flow的興起，彌補了之前人們對幾何結構研究的缺陷。曾經人們主要研究一些特殊的幾何物件。但現在，觀點轉化為：
這些特殊的幾何物件往往是moduli space中特殊的點，比如某個functional的臨界點；，而geometric flow則是moduli space中特殊的curve，特別的可能是這個functional的gradient flow。在這個觀點下，我們可以研究的moduli space被大大擴充。Geometric flow本身就可能包含許多資訊，例如Kahler-Ricci flow等等。
在這些新的觀點下，一些很古老的問題也取得了新的進展。例如對R^3中嵌入的單連通極小曲面的分類這個上百年的問題，就在21世紀初由Colding-Minicozzi和Meeks-Rosenberg通過研究R^3中的極小曲面所在的乙個特定的moduli space（所謂的minimal lamination space）解決。
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