1樓：Crocodile
最近發現用Dirichlet特徵證明真的舒服。
證明：如果 是模 實本原Dirichlet特徵，是奇素數。如果 ，考慮Gauss和 ，則有
，因為是奇素數，所以 ，容易得到 。接下來用到乙個不算困難的事實： 。那麼如果將 乘在上面的同余式兩邊，得到
。因為 ，而且 是可逆的，就有 ，
注意到上式兩邊都是 ，則 。特別地，如果 ，上式兩邊都是 ，於是對任意正整數 上式都成立。
現在如果 是另乙個異於 的奇素數，考慮模 實本原Dirichlet特徵 ，代入上式便有
。證畢。
不過Frobenius對映貌似更簡單。。。雖然有大炮打蒼蠅的感覺。
因為 是 中唯一分歧的素數，對於素數 ，限制在 上是不是單位元等價於 在 裡面是不是平方數，這也等價於 是不是模 的二次剩餘，所以。
2樓：
二次互反是證明最多的定理了，246 個了。寫了《Reciprocity Laws》的那個作者Franz Lemmermeyer有乙個實時更新的網頁專門收集二次互反律的證明，一旦出現新證明，都列舉作者，時間，出處，證明的大致策略
Proofs of the Quadratic Reciprocity Law
Jean-Pierre Serre 在 《A Course in Arithmetic》的第一章的最後有乙個證明，簡潔明快
wiki 有乙個頁面是做這個的
Proofs of quadratic reciprocity至於應用，這要看二次互反律可以匯出多少重大的結果
3樓：
來乙個我大Eisenstein的解析證明。這個證明據說是Kummer給予高度評價的證明。下面證明來自Franz Lemmermeyer的書Reciprocity Laws(From Euler to Eisenstein), pp.
236-237.
證明：設p,q均為奇質數。首先證明以下等式是成立的。定義
那麼有。
首先如果 ,那麼必存在 ,使得 。正負號由r惟一決定。當r走遍A中所有元素，那麼r'也走遍A中元素，且沒有重複。上面的同余式總意味著
令r取遍A中所有值，並且結合Euler引理 ,命題得證。
Eisenstein 接著利用正弦函式的性質(容易用歸納法證明)
引理：對奇數 ，是 的多項式。記 ,那麼這個多項式 是 的多項式，而且多項式是首項係數為 的偶函式。
的零點是 的零點除去 的整數倍。我們如果定義r與-r是等價的，那麼在此等價關係下q的剩餘系(不含0)的代表元的集合可以定義為 。我們有
。回到Legendre符號的乘積表示式。我們立刻有
交換p與q, 二重乘積正好改變
次符號。證畢。[天才的證明!!!
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