1樓：
Lebesgue 測度本來就是用 Riemann 積分給出的 上正線性泛函通過 Riesz-Markov-Kakutani representation theorem 得到的，所以這個問題是 trivial 的。
另外不是很明白為什麼總有人說 Lebesgue 可積不一定 Riemann 可積。舉出的例子都是些條件可積的積分，它們都高度依賴於正規化方案（想想條件收斂級數的重排），視作積分的話是非常糟糕的研究物件。實際上它們應該放到 distribution 的框架下去研究。
2樓：森林
引理1:f是黎曼可積，則f是HK可積。
證明直接利用定義。
引理2:f是黎曼可積，則f的絕對值是黎曼可積。
證明:注意到 f是黎曼可積，則f有界。
引理3:f是勒貝格可積，當且僅當f及f的絕對值均HK可積。
證明:記F(x)=(HK)∫(a→x）fdx,可以證明F幾乎處處可導，且導函式幾乎處處等於f。
正題:f黎曼可積，(由引理2)f的絕對值黎曼可積，(由引理1）f及f的絕對值HK可積，(由引理3)f勒貝格可積。證畢。
不會各種編輯器，抱歉！
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