能否構造出乙個函式f,它在 a,b 上黎曼可積,但D f 為不可數集?

時間 2021-05-30 00:12:05

1樓:

設 為 中三進製小數只包括0或2(例如,1/3 = 0.1 = 0.02222...)的那些數的集合。

設 定義為:如果 那麼 ,否則 。那麼這個函式在 中所有點不連續,因為 中的任何點周圍任意小的鄰域裡都有不在 中的點(在小數點後足夠多位把數字改成1)。

這個函式在所有其它點連續,因為如果乙個數的第 位小數等於1,並且前面的數字沒有1,後面的數字又不全是2、且不全是0(否則它從此位開始的小數就可以改成0222...或者2000...,就屬於 了),那麼離這個數 最近的 中的點就是把第 位改成0或者2、後面的數字都是0或2的數 , 和 有一定距離,所以有乙個 周圍的區間使其中的所有點都不在 中。

因為以上性質,任意區間裡都有不在 中的點,所以Darboux下積分 等於0。現在取 個區間的等距分劃,這些區間裡有 個區間內部都只包含不在 中的點,所以這個分劃的Darboux上和等於 。Darboux上積分 是Darboux上和的下確界,這樣就也等於0。

因此 在 上Riemann可積,並且 。

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