請教大家乙個有趣的問題,最小可以用多大的一平面蓋住任意的等周平面(周長是 C,不包括曲線)?

時間 2021-06-03 18:46:26

1樓:

似乎是open problem, 有想法可以寫成文章.

乙個relevant的文獻是: Chakerian, G. D.

, & Klamkin, M. S. (1973).

Minimal covers for closed curves. Mathematics Magazine, 46(2), 55-61.

2樓:睎xii

構想乙個三角形,它的底是a,這個底所對應的高無窮小,那麼近似得a=1/2 c,所以說這塊布的面積應該是π(1/2 c)/4=πc/16

題主提到需要這個面積盡可能的小,我突然想到:既然c/2的長度是最大長度,也就是說這個圖形需要有一條c/2的線,我把它從矩形的角度來考慮,那麼矩形對角線是c/2,矩形的高呢?我馬上想到了圓形,也就是周長為c的圓形,它的直徑是c/2π,也就是矩形的寬,根據勾股定理可以算出矩形的長,答主可以再試試。

(其實這個解也非最終解,我提供乙個思路:從圓的角度出發,逐漸往上添,現在在外面不太方便,我相信題主能意識到)

3樓:mo墓

一塊橢圓布

x/a+y/b=1

長軸2a=C/2

短軸2b=C√2/4

以上應該是錯誤的_

初想加了些無用的設定

新答案:

1、周長為C的繩子,在平面上,以點O為焦點,作最大的範圍,會變成乙個半徑為C/2的圓O

毫無疑問,圓O可以覆蓋繩C的所有形狀,但並不需要這麼大

2、考慮將其減小至橢圓,其中

橢圓兩焦點|F1F2|=C/(2+根號2)

(當繩C為等腰直角三角形時,範圍最大,即一邊在F1F2,一邊突出時,超過這個尺寸,可以將其兩條直角邊對調,使得其在F1F2上)

大概形如此圖的橢圓,

紅色三角形和綠色線型為繩C的最長和最寬的形狀,所以陰影處的橢圓是多餘的只需要以下部分:

PPT作圖,看個意思就行_

經 @天佑 提醒, 修正了一處遺漏,確實橢圓的弧只需要四分之一,因為橢圓各象限對稱,但橢圓的兩個焦點需要保留,這樣的形狀可以覆蓋各種C為周長的圖形

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