1樓：不等式愛好者
這種形式的Painlevé連續開拓原理小喵覺得證明還是挺難的。主要曲線只假設了可求長，這一點使得證明變得很複雜。
由於 f 在黃色和紅色區域分別全純，所以它在這兩個區域邊界上積分是0. 把這兩個積分加一起可得在三角形邊界上積分也是0. 所以我們證明了 f 在任意小的三角形回路上面積分都是0，也就完成了定理的證明。
對於可求長曲線，上述的論證方法小喵感覺應該不work。不管三角形取的多麼小，也不可以認為曲線差不多線性，曲線可以將小三角劃成很多部分，很難上面這種用簡單方法來證明。
換一種思路證明會容易一些。考慮光滑函式 ， . 定義 . 考慮 f 和 的卷積 .
我們證明 是全純函式。 考慮 , 那麼
這裡 x-D 是D 沿 x 方向平移得到的區域，第三個恒等式我們用了 Reynold transport formula (別被名字嚇住了其實是個很常用的公式，是Green theorem 的變式) https://
en.wikipedia.org/wiki/R
eynolds_transport_theorem
。我們有以下分部積分公式，
.如果 D 邊界是smooth 或者piecewise smooth 這個公式是 Green 公式的推論。回憶可求長的定義是說這個曲線可以被piecewise linear curve逼近。
如果 只是可求長我們可以先對piecewise smooth 曲線證明，然後取極限證明一般情形。
然後對 的表示式應用上述公式，我們有
這裡因為 位於 D 內部，在這些曲線的邊界項會出來一正一負兩項互相抵消。 上式第一項等於0，因為 f 在 全純，第二第三項互相抵消。所以 ， 全純。
我們現在已經證明了， 全純，由卷積的性質我們知道 uniformly。所以由 Hurwitz theorem https://
en.wikipedia.org/wiki/H
urwitz%27s_theorem_(complex_analysis)
，我們知道 f 也是全純函式，所以就完成了證明。
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