1樓：冷方靜 雨中清
因為測度作為集合的非負函式，我們以後經常用到測度的「可數可加性」。
對應於測度的定義域「集類」就要求集類裡的元素「集合」需要一定的封閉性。
所以測度往往是定義在西格瑪代數上。
2樓：MATHTH
首先我們從數學建模的角度來看待概率公理.
考慮概率測度,自然應該首先收集若干事件構成乙個集合, 也就是說我們首先要採樣本空間 $\Omega$ 的若干子集來構成乙個集合, 不妨我們將這個集合記為 $\mathscr$, 現在我們暫時不管這個集合具有什麼結構, 從概率測度的角度來看, 我們首先看看概率應該滿足哪些公理或者說假設.
也就是說,我們考慮定義在集合 $\mathscr$ 上的函式,
P:\mathscr \to \mathbb,A \mapsto P(A)
經過仔細分析古典概率模型我們就會發現, 我們應該對 $P$ 作如下的假設.
* 規範性,即 $P(\phi)=0$,
* 非負性: 即對於任意的 $A \in \mathscr $, 應該有 $P(A)\geq 0$.
* 規一性: $P(\Omega)=1$.
* 可數可加性: 即 $A_n \in \mathscr$, 且 $A_m \cap A_n= \phi, \forall m,n \in \mathbb,m\neq n$, 則有
P(\cup_^A_n)=\sum_^P(A_n).
現在我們來推敲上面的假設所蘊含的潛在假設, 事實上, 由於規範性和規一性假設, 顯然有
\phi ,\Omega \in \mathscr
在可數可加性的假設中, 事實上由如下的潛在的假設:
> 若 $A_n \in \mathscr$, 且 $A_m \cap A_n= \phi, \forall m,n \in \mathbb,m\neq n$, 則 $\cup_^A_n \in \mathscr$,
也就說要求 $\mathscr$ 對無交並是封閉的.
繼續觀察可數可加性假設, 我們發現還蘊含著別的潛在假設.
事實上, 由於 $P$ 具有可數可加性, 那麼我們取有限個兩兩不交集合 $A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathscr$, 自然我們可以在後面新增無窮多個 $\phi$ 構成序列
A_1,A_2,\dots,A_n ,\phi,\phi,\dots
那麼由可數可加性就有
\begin
P(\cup_^A_k)=P(\cup_^A_k)=\sum_^P(A_k)+\sum_^P(\phi)
\end
由於 $P(\phi)=0$,這就導致 $P$ 有限可加性, 即若 $A_1,A_2,\dots,A_n \in \mathscr$ 兩兩不交, 則
P(\cup_^A_k)=\sum_^P(A_k)
我們運用這個事實, 任取 $A\in \mathscr$, 當然有 $A \cup A^c=\Omega$, 因此由有限可加性應該有
P(\Omega)=P(A)+P(A^c)
這就是說 $A^c$ 應該在 $P$ 的定義域中,也就是在 $\mathscr$ 中, 換句話說, $\mathscr$ 應該對補運算封閉.
現在綜合起來,我們已經發現在概率公理中對 $\mathscr$ 要求必須要滿足如下性質.
* $\phi ,\Omega \in \mathscr$,
* 補運算封閉,即若 $A \in \mathscr$, 則 $A^c \in \mathscr$,
* 對可數不交並封閉: 即若 $A_n \in \mathscr$, 且 $A_m \cap A_n= \phi, \forall m,n \in \mathbb,m\neq n$, 則 $\cup_^A_n \in \mathscr$,
這不是別的, 這就是鼎鼎大名的 Dykin 類的條件, 也就是說在概率公理中隱含著要求 $\mathscr$ 是乙個 Dynkin 類的條件.
(我並不清楚Dynkin 當初是怎麼提出Dynkin 類這個概念的, 事實上我懷疑他就是從概率公理中提煉出這個概念)
但是 Dynkin 類還不是 $\sigma$ 代數,但是其已經非常接近 $\sigma$ 代數的要求了.
那麼 Dynkin 類與 $\sigma$ 代數還差多遠呢, 答案是還差乙個有限交封閉條件,也就是說
> 事實上如果我們對 $\mathscr$ 要求對交運算封閉, 那麼 $\mathscr$ 就將構成 $\sigma$ 代數.
當然,我們有什麼理由拒絕 $\mathscr$ 對交運算封閉類, 這也就是說, 如果 $A,B$ 都是事件,我們卻不承認 $A\cap B$ 是事件, 這顯然不自然, 因此我們應該要求 $\mathscr$ 對有限交封閉, 也就是說要求概率測度 $P$ 的定義域是乙個 $\sigma$ 代數是自然事情.
3樓：落落大方的發卡
我來談談乙個很接近的問題，就是概率測度為什麼要定義在 Borel 代數上。
樣本空間 的乙個子集，我們稱之為事件，概率測度能夠給這個事件賦予乙個概率。
在研究概率的時候，我們還會經常去考慮多個事件的交事件和並事件，還有事件的對立事件。
比如，擲乙個骰子，有6個最基本的事件，但是我們還會進一步的考慮「擲一次得到偶數點」的概率，這就需要保證概率測度，這個集函式，能夠與處理事件的交、並、補，甚至的事件的極限，這就要求概率測度的定義域是乙個 Borel 代數。
這個思想可以從抽象空間上測度構建的過程來體會。
先定義在半環或者半代數上的測度。（擲乙個骰子，有6個最基本的事件）
再將這個測度的定義域從半環/半代數延拓到 algebra 或者 sigma-algebra 上。（這6個最基本的事件可以組合成許多複雜的事件）
最後再考慮測度空間的完備化。
4樓：查哥半桶水
紐約查哥：第三章、測度
然後我在更早的時候也給過乙個類似的回答，同時給了乙個不可測集的例子，有興趣也可以看一下
What is the intuition for using sigma algebras to define probability spaces?
直覺層面介紹一下，測度論試圖建立一般測量所需要的廣義且底層的邏輯。乙個測度可以是長度、面積、體積、概率，等等 - 它們的共同點就是給乙個集合賦予乙個數值。比如一條線段就是乙個由點構成的集合，而長度就是給這個點集賦值乙個實數 （這條線段長度是5）。
這個實數不是隨便賦值的，它要滿足一些最基本的公理：比如兩條線段不相交，那麼他們的長度是可以相加的；再比如乙個集合為空，那麼長度應該為零，等等。
對於有限集或者可數集，我們確實能找到這樣的測度；但是對於不可數集，我們卻找不到這樣的測度（如果接受選擇公理，我們總能構造出一些集合，無論我們給這些集合賦什麼值都會不滿足公理要求的條件）。
既然大多數情況下（不可數集），我們沒法找到乙個測度能夠合理的給集合中的每乙個子集賦值，我們就退而求其次，問：」我們可以對哪些（不是全部）子集合理的賦值呢「。我們當然希望可以被測度賦值的子集越多越好 —— 於是我們從一些子集開始，在測度依然可以合理賦值的條件下，逐步拓展、加入更多的子集；通常這些子集的集合體就會最終拓展成乙個 -代數。
5樓：
先別問這麼抽象的問題例如"為什麼"，這玩意先接受了再說，往後讀自然理解就加深了。
sigma 代數是概率論的基石！你可以認為，乙個sigma代數其實是規定了何種事件是"可測的"(可定義概率的)，他可以看做是一套法律規則。例如，如果乙個sigma 代數是和全集構成，那麼可以認為這個sigma代數是一種最"嚴苛"的法律規則，在這個規則下的合法集合只有兩個，這個規則下的合法函式(可測函式)只能是常熟函式。
而sigma代數的另乙個重要性質是"可數"交並是封閉的，這個保證了分析性質的良好，比如Monotone convergence和dominated convergence. 更重要的，對於概率論來說，概率密度(也就是Ladom Nikodym定理)和Fubini定理(聯合分布)沒有這個性質根本沒辦法玩下去！
同時，sigma代數的子代數正定義了什麼叫"條件概率"，和"條件期望"，也就是將不合法的函式抹勻(平均)，利用Ladom Nikodym，弄成子sigma代數下可測(合法)函式，這件事情是隨機過程的基石！
6樓：dhchen
首先，一般來說「最弱」的乙個集合族的概念叫semiring（半環）。 它比algebra還弱一點：
半環 semi-ring
畫個圖，它們的關係是這樣的，也就是說 -代數非常好，這就是教科書喜歡用它的原因，很方便，具體的幾個原因我後續解釋給你聽
各種集合族的關係
下面談論乙個概念，叫做charge，你會發現它和measure和接近，而且本質上兩者都可以定義在半環上面。
charge and measure
我什麼我們最後選了 -algebra? 需要多談一些關於積分的內容，其實，如果你只是想定義乙個「像」黎曼積分那樣的東西，你不需要measure，charge+algebra就足夠了。 你可以如下面定義的那樣定義step函式的積分，這裡已經換成了algebra，因為後續用來證明這個積分和具體的簡單函式表達無關還是有點意義的。
也就是說，如果 的時候，他們得一樣。
然後，我們可以定義積分：
是不是和黎曼積分裡的達布上和和達布下和很像，然後你可以定義乙個函式可積當且僅當 ,這種積分有兩個問題，第一它只能定義在有界函式上，第二，這個積分不具備類似單調收斂、控制收斂那種好用的性質。
所以我們需要把charge換成measure，但是不一定需要-algebra，我們還是只需要semiring，因為本質上，下面這個東西是我們處理各種積分需要的東西。
半環上測度的「連續性」
發現了沒有，類似的結果在rudin上也有，但是因為rudin使用了 -algebra，所以條件 是沒有必要，因為這個會自動成立。
rudin上的類似結果
這裡一堆結果，關鍵是我們可以注意到extension 本身乙個定義在 -algebra 上的measure，而且對於任何乙個滿足 的半環 , 都是 在這個半環上面的唯一延拓。 這個情況下，對於半環上的測度，我們可以定義如下的積分
然後通過一般的方式，這個積分可以推廣到無界函式上，而且具備了單調收斂，控制收斂之類非常好用的結果。而且如果原來的測度定義在乙個 -代數上， 這個意義上的「可測」函式（本質上是在 下的可測的）和原來意義上的可測函式最多差乙個零測度集合。
另一方面，如果你仔細看各種證明思路，我們注意到「單調性質」很重要，這個性質可以保證，半環上的測度連續性中「條件」變得自動滿足，也就說 ，而不需要考慮 是否「可測」。
然後，我們可以注意到下面的結果：乙個代數是乙個monotoen class當且僅當它是乙個-代數。
綜合上面的考慮，-代數自然是最好的初學者應該考慮的概念，可以非常自然地過度到後續的積分理論，它本身具有非常棒的性質，這是教材選取它的原因。當然了，如果你學習一些「真正」的測度論，那麼什麼半環啊， -class, -class也是非常重要的。由於我的個人知識有限，我就談這麼點東西了。
千萬別在測度論學得好的人面前說什麼「測度論是建立在 -代數上的」，這有點以偏概全了，雖然我個人不會這樣斤斤計較。
PS： 我這裡只是談了一種構造積分理論的路線，還有其他路線。
PS: charge在刻畫函式空間 的對偶空間方面具有非常好的作用（這其實也是我學習charge唯一的原因了），只是用測度是不足以刻畫大部分此類空間的對偶空間的。
這裡的 分別表示 中拓撲生成的 -algebra和algebra。
需要注意的是，這些空間都是charge，沒有measure，但是在Hausdorff空間上的tight而且finite的 charge就是乙個regular measure。也就是說某些情況就是經典的結論。
ps: 上述的內容來自Aliprantis 的「Infinite Dimensional Analysis.「 這個教材雖然說是給數理經濟學」學生寫的「泛函分析教材」，但是就內容來說在「泛函分析」這塊上非常深入。
我見過的大部分數學專業博士都不具備這個教材以上的泛函分析知識。所以下次見到數理經濟學的博士生千萬別覺得人家的數學知識就比你「低」，他知道的你未必知道，這叫術業有專攻。當然了，這本書也比較「偏門」，就泛函來說，它有些方面非常深入，有些東西完全不涉及（比如泛函中的運算元理論）。
但是它在Banach lattices (AL, AM-spaces), Riesz space這些方面是比較好的入門教材。
為什麼說測度論是概率論的基石，它們之間的本質聯絡是什麼？
望天衝 狗屁基石。人類剛開始，懵懵懂懂的進行加減乘除，運算。總結出了，乘法分配律。然後，反過來說，乘法分配律是加減乘除的基石。測度論是概率，長度，的抽象推廣。當然，他符合概率，長度的運算規則。你反過來說，這麼有辦法。就像，你總結出人是要死的。反過來說，某人必死。也對。 fate 測度論是乙個很根本很...
為什麼大國博弈要建立在犧牲人民的基礎上？
吉格斯 因為人類的博弈形式還處在零和博弈為主的階段，搶資源的結果自然是有人失去，為什麼不坐下來好好談談雙贏的合作？比如現在需要資源就用投資交易而不是殖民的方式，這樣不是比較文明而且雙贏嗎？人類的本性就是貪得無厭的，遵循投入回報的最大化原則，得寸進尺，殖民形式收益比投資交易高的前提是反抗不激烈，而反抗...
求助 相對論建立在什麼樣的世界觀之上？
貓騎龍 狹義相對論是因為人們測出了光速不變。這是反常的，就必須有乙個反常的理論來解釋它。我是這樣思考的。一節移動的火車車廂，從車尾開啟手電，光經過時間t到達了車頭。但是火車外面的人不這麼看，經過時間t，光還沒有到車頭，因為車頭向前移動了。那就必須有乙個合理的解釋，光到底在哪？1，兩個慣性系時間不一樣...