1樓：耗奇心
不知道歷史上薛丁格是不是這麼湊出來的，不過這裡說一種湊法。
首先在薛丁格方程之前人們就知道了粒子的運動可以用平面波表示，那麼我們就先把它寫成平面波：
2. 能量的表示式也很簡單：能量 = 動能 + 勢能，其中動能和動量的平方成正比，即：
3. 在量子力學中有能量和動量與波的頻率和波矢的關係（德布羅意關係）：
有了這些東西，下面就能開始湊了，我們的目的是把波函式塞進能量表示式，這樣才能表示各種不同狀態。怎麼把波函式塞進去需要一點技巧，首先肯定不能能量表示式兩邊同時乘以 ，
這樣沒什麼意義，一約分就把 約掉了。我們要找乙個不能把波函式約掉的等價形式。
我們可以發現，由於e指數函式求導和原函式很像，波函式對t求偏導得到：
我們只要在兩側乘 就湊出了(1)式的左側。
同理，如果對x求偏導得到：
兩邊乘 就湊出了動量的形式，而能量表示式中動量是平方，那怎麼讓動量變成平方？可以再求一階導數！e指數每求一次導，係數就下來乙個，求二階到之後係數就變成 了：
這就湊出了(1)式的右邊動量項。現在(1)式換一種形式寫出來就是：
這就是一維的薛丁格方程。這次兩邊不能約掉 了，因為不是直接把 乘在了能量表示式兩邊，而是通過算符 作用在 上(即對 求偏導)得到的。這樣既滿足能量表示式又把波函式塞了進去，因此就可以描述粒子的不同狀態。
三維情況同理。
2樓：北極星12345
由德布羅意關係可將自由粒子的運動狀態用乙個單色平面波表示，然後發現這個單色平面波滿足乙個波動方程，（即哈密頓量中只有動能項的薛丁格方程），因為自由粒子哈密頓量中正好就是只有動能項，由此推廣（猜測）出所有粒子薛丁格方程。
3樓：xunkar111
眾所周知，Schrodinger方程像愛因斯坦場方程一樣是猜出來的（近似的說是構造出來的），在薛丁格方程中只要你把非相對論情形的能量-動量關係作為骨架，即：E=P^2/2m+V(r)，再把能量算符（E＿hat=ih＿bar(a/at)）和動量算符（P＿hat=ih＿bar Nabla）帶進去就得到三維空間中的薛丁格方程。
4樓：
歷史上講，薛丁格方程是直接被寫出來的，不是推出來的，你把它理解為波動方程即可。
如果要從算符推出薛丁格方程，sakurai的現代量子力學專門講過這件事，它是從態演化算符出發得到的。
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