向量可以用求導算符表示，這點該如何理解？

1樓：玟清

其實還可以這麼理解，流形都可嵌入到歐氏空間，所以你還是可以用陣列的形式來理解向量，回到歐氏空間做流形的問題，正是Milnor的做法。

然後，你證明用偏導定義的向量空間與歐氏空間原來那個向量空間有一一對應關係。然後就沒有然後了。

對於一般情況，要麼嵌入，要麼老老實實用抽象定義。為便於理解，你還可以用曲線切線來理解，乙個點的向量可取切空間中的任意值，切空間可理解為過一點所有曲線的切向量集合，經過一點的曲線的切線不正好是各個標架上梯度分量的線性和麼。這在3維曲面上應該是最好理解的。

2樓：番茄在雲上

在流形上沒有附加結構的話，沒有長度，方向等等的概念，因而不能將歐氏空間，比如向量疊加的三角形法則，加以推廣。連加法都不能推廣了，我們自然要尋求另外一種合理的向量定義。

取出向量的關鍵性質，線性性和萊布尼茨律，並且將向量定義為流形上函式到實數的對映。這樣的對映很多，但是取求導作為具體的定義方式，再往後走就會發現這樣的定義很好。可能還要懷疑這對不對，計算一下，發現滿足前面的兩條性質。

OK。並且你還可以發現維度等於流形的維度，完備，線性無關(但正交性需要用到度規衡量，而且很多時候不歸一)等等，很好的滿足了我們對向量的要求。