量子霍爾效應是不是存在無電阻的電流？它和超導有什麼不同？還有哪些物質的相存在這種無電阻電流？

1樓：神秘博士DoctorWu

霍爾效應，量子霍爾效應，整數的，分數的，可以用有缺陷的導體（包括半導體，超導體，一般導體）來做。也能用無缺陷的導體（包括半導體，超導體，一般導體）來做。

器件的端點處，和缺陷處理解為bloch電子密度波的駐波波節的位置。這也是一部分經驗的原因所在，整數量子霍爾效應用無缺陷的材料容易做。分數量子霍爾效應用有缺陷的材料容易做。

霍爾電阻是個不同含義的「電阻」。測電壓是垂直於電流方向測的。電壓比電流講出來是個「電阻」。

普通含義的電阻還是該哪樣哪樣。

我們自己的語言，參與霍爾效應的電子數決定了整數量子霍爾效應的整數，決定了分數量子霍爾效應的分子（霍爾電阻除以分數的量子化）。對每個電子而言，測電壓的路徑上的波腹數決定了分數量子霍爾效應的分母。

之所以能見分母是1，3，5…奇數是因為費公尺子的緣故。

我們自己的預言，那個普通含義電阻，也有量子化！也有受磁場影響的整數和分數效應，妙哉。

咦？超導體裡的電子波腹數也是奇數的，這太令人不可思議啦。

2樓：歐比旺麥格雷戈

量子霍爾效應中的確存在零電阻，但這個零電阻並不能用來承載大電流。

考慮如下的乙個長為L的一維通道，電子在通道中的運動是不受阻礙的、彈道式的。將該通道與電子庫相連，並在兩端加上電壓，則整個電路中便會有電流流動。雖然這個一維通道是沒有電阻的，但它承載的電流卻是有限的，電流大小為（V是電源電壓）

這個電流數值可以通過簡單的計算得出。根據統計物理的結果，一維自由電子氣單位長度的態密度可以表示為，其中v是電子的速度。我們只考慮朝乙個方向運動的電子態密度，即 0" eeimg="1"/>的情形，所以上面這個式子中的2是來自旋簡併，而非電子波矢有正負兩個方向。

根據電流密度公式可以算出能量在到範圍內的電流大小為。總的電流就是對所有可能的能量進行積分。為了簡單起見，考慮絕對零度的情形。

於是通道中能量小於左邊電子庫的費公尺能的狀態將被全部被佔據，而費公尺能之上的態全空。因此，積分上限就變成了左邊電子庫的電化學勢能（費公尺能），從而可以得到通道中從左往右流動的電子形成的總電流為：

上式中是導帶底部的能量，是左邊電子庫的電化學勢能，它等於左邊電子庫的電壓乘以電子電量，即。

同樣的分析可得到通道中從右往左流動的電子形成的電流，其中。

總的電流為兩個方向流動的電流之差。

這個結果表明，儘管通道中電子的運動是沒有阻礙的，但是通道仍然表現出電阻，其大小為。

回到量子霍爾效應中，磁場的出現使得二維電子氣中產生出了用於導電的邊緣態。如下圖所示，畫出了有兩個邊緣通道存在的情形。

這些邊緣態也是一維的，因而可以直接套用上面一維通道的結果。根據前面的結果，這些通道也只能承載有限的電流。但是因為磁場的存在，自旋簡併消除，上面對一維通道的推導中的態密度應該除以2，因此量子霍爾效應中每個通道承載的電流不是，而是。

如果一共形成了M個通道，則總的電流就是這併聯的M個通道的電流之和，即。

另乙個需要注意的地方是二維電子氣在磁場中形成的邊緣態是單向流動的，向左和向右電子的運動在空間上是分開的。以上圖為例，從左往右運動的電子靠在二維電子氣的上邊緣，從右往左運動的電子靠在下邊緣。不同方向的電流靠在不同的邊緣，這直接導致了在樣品兩個邊緣上測得的電壓會不同。

考慮到通道對電子是無阻礙的，因此可以認為通道內電壓處處相等，並且等於該通道所發出的電子庫的電壓。

現在我們可以計算縱向電阻和霍爾電阻了。為了計算縱向電阻，需要知道縱向壓降。可以在樣品的同一邊的A、B兩處測電壓和，如果所示。

但前面說過了，通道內是沒有壓降的，整個通道的電壓是等於通道發出的電子庫的電壓。於是上邊緣的A、B兩點電壓應該等於左邊電子庫的電壓，即。所以，測到的縱向電阻。

為了得到霍爾電阻，我們需要知道樣品兩邊的電壓差。取圖中下邊緣的C點來測電壓，因為下邊緣的通道是從右邊電子庫發出的，所以C 點的電壓。於是，霍爾電阻。

M是通道個數，隨著磁場的增大，M逐漸變小。但通道個數M一定是乙個整數，所以它只能隨著磁場階梯式地變化，因此，在霍爾電阻隨磁場變化的影象中就會呈現出乙個個的平台。霍爾電壓平台處對應縱向電阻。

霍爾電阻的值是量子化的，它不像經典的霍爾效應那樣隨磁場連續變化，這就是量子霍爾效應。

綜上，在量子霍爾效應中的確存在零電阻現象，但這個零電阻並不像超導體的零電阻那樣可以承載無限大的電流。根據可知，整個電路表現出大小為的等效電阻 ,它等於每個通道表現出的電阻的併聯。