1樓：心平氣和
首先給出引理：
如果p/q是多項式
的乙個有理數根，則
證明略。
有了引理，我們可以得到，根號二是多項式
的乙個根，但是由引理得，f(x)的有理根只能是2，-2，1，-1。所以f(x)沒有有理數根，所以根號二是無理數。
其它的同理
給出另一種更generalized的方法
引理：如果根號a對於正整數a是有理數，那麼根號a是正整數。
證明略現在來證明根號2是無理數
首先，我們有
所以，所以根號二不是整數，由引理可得，根號二不是有理數。
乙個顯然的推論是：根號a對於正整數a是有理數當且僅當a為平方數
2樓：哈里·謝頓
我在網路上見過乙個很巧妙的證明，是基於平面幾何和更相減損術（原文中有誤，這個不是輾轉相除法）來證明的
3樓：ivy zheng
是無理數。
【證明】反證法。
若 是有理數，設 ，其中 且互質。
兩邊平方，有：
因此 為偶數，故 能被4整除。
若 為奇數，則 應能被4整除，矛盾。
若 為偶數，與 互質矛盾，命題得證。
是無理數，這個有兩個質因子2，用質因子3更簡單一些。
【證明】反證法。
若 是有理數，設 ，其中 且互質。
兩邊平方，有：
因此 能被3整除，故 能被9整除。
若 不是3的倍數，則 應能被9整除，矛盾。
若 能被3整除，則與互質矛盾，命題得證。
看了這兩個證明，估計任何代數數都可以證了吧。
√2和√3是否存在無窮長度完全相同的字串？如何證明？
4樓：Dr.dictionary
先用反證法
證：√2不是無理數
所以：√2可表示為分數n/m（n，m為互質數且同為整數）2=n/m
2=（n*n）/（m*m）
2n*n=m*m
所以：m可被2整除（m=2x）
2n*n=4x*x
n*n=2x*x
同理：n=2y，m=2x
所以：m，n有公因數，不是互質數。
與題設相違背，√2不是有理數。
所以：√2是無理數
怎麼證明圓周率是無理數？
謝靈 由數軸和有理數定義得 所有的有理數在x數軸上。我證明了實數pi不能在x數軸上構建，證明了x數軸上沒實數pi。謝靈 X數軸上不能構造實數 所以實數pi不是有理數。 王xin銳 最近在研究圓周率，順手就把這題答了。我的解題思路不涉及到公式，而是用生活中的道理讓人理解，如果你仔細看，一定能懂。證明開...
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我真的很想說是顯然 題主你能先說下我們用什麼結論吧，要是這題都從自然數定義開始證起略麻煩。我給你個思路看下行不行？思考下類似於一和a的輾轉相除過程 去證明對任意a，存在 st 有以上結論證出原題簡直顯然。分割線輾轉相除 兩初始正整數m,n，分別賦值給變數 一直減下去直到得到的差第一次小於為止，將這個...