1樓：歌你一下
這裡再分別從秩和特徵值、矩陣變換這兩個角度總結一下，應該對正準備考研的同學比較實用。對兩個同階方陣 和 有：
等價秩相等。
相似特徵值相等（矩陣的秩、正負慣性指數自然也相等）；
矩陣可對角化且特徵值相等。
合同的秩與正負慣性指數相等。
（或者說對實對稱矩陣和 ，合同秩和正負慣性指數相等。）
等價 存在可逆矩陣 使 ;
相似 存在可逆矩陣 使 ;
合同 存在可逆矩陣 使 .
張宇. 線性代數9講. 北京：高等教育出版社，2020.
2樓：
矩陣的等價又稱相抵，這個是最一般性的概念
對於兩個矩陣 ，如果 可以經過一系列初等行變換和初等列變換變成 ，則稱 與 相抵或等價
若 與 相抵，則存在可逆方陣 ， ，使得
其中 是一系列 階初等方陣的乘積，對應一系列初等行變換而 是一系列 階初等方陣的乘積，對應一系列初等列變換兩個 階方陣 與 相似，指的是存在 上的 階可逆方陣 ，使得它本質上是某個線性運算元 在兩組不同的基底下的矩陣分別是 和兩個 階方陣 與 合同（又稱相合），指的是存在 上的 階可逆方陣 ，使得
它本質上是某個雙線性型 在兩組不同的基底下的矩陣分別是 和相似和合同只適用於同階方陣，相抵不需要是方陣，只要兩個矩陣同型即可相似和合同都是特殊的相抵
3樓：Wang Sir
矩陣等價：PAQ=B；同型矩陣而言；一般與初等變換有關；秩是矩陣等價的不變數，兩同型矩陣相似的本質是秩相似；
矩陣相似：P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似；
矩陣合同：CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標準型相同；可通過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。
為什麼兩個相似矩陣的特徵值相同？
人生遊戲 性質 特徵多項式相同 則解肯定相同。特徵多項式最終都能化成形如k x a x b x f 0 多項式形同，最終解也就一樣，頂多也就k不一樣，不過不影響 善財童子 知友 疏困 從矩陣的特徵多項式的角度給出了證明，這裡我從特徵值和特徵向量的定義給出另外乙個證明 假設存在兩個方陣 和 根據相似矩...
為什麼這兩個相似矩陣行列式差距很大？
三無小號 補充一下，矩陣的特徵值實際上可以看作在不同方向上的最大最小值也就是說起到了座標系的作用，相似的話就是說在同方向上他們最大最小值相同。但是這畢竟是乙個近似只有在波動不大的地方才準確。如果要更準確方法就是兩個，乙個是像畫地圖一樣對複雜的地形就畫得更詳細點也就是說增加維數，或者你換個容易畫得地方...
為什麼實對稱矩陣可以用正交矩陣相似對角化？ 而且為什麼對角矩陣還是特徵值
如果是重根，它對應的特徵向量不是單獨的方向，而是乙個空間。這個空間裡的所有向量都是特徵向量。隨意選兩個無關的特徵向量進行相似對角化，都能得到對稱矩陣，對應的特徵值都是 正交化無非是在空間裡找了一些特殊的特徵向量。 上官正申 首先，實對稱矩陣的特徵值顯然都是實數 其實厄公尺矩陣的特徵值也一定是實數，實...