1樓：郭霄
1.設點｛x，y，z｝上切平面方程為Ax+By+Cz+D=02.任取切平面上的向量a=｛x0-x1，y0-y1，z0-z1｝3.
｛fx，fy，fz｝·｛x0-x1，y0-y1，z0-z1｝=A·（x0-x1）+B·（y0-y1）+C·（z0-z1）=A·x0+B·y0+C·z0-（A·x1+B·y1+C·z1）=-D+D
=04.故｛fx，fy，fz｝垂直於點（x，y，z）處的切平面。證畢。
2樓：hiki
首先明確法向量的性質：與曲面上任取一條過該點的空間曲線的切線都垂直。
而如何表示這個垂直呢？向量數量積＝0
我們知道，空間曲線x= ，y= ，z＝ 的切向量為（ ， ， ）而由於空間曲線在空間平面上，任意一點均滿足空間平面的方程，則有恒等式：F（ ）＝0
對該恒等式求導，得：F'x +F'y +F'z ＝0視（F'x,F'y,F'z)為乙個向量n即滿足了我們開頭說到的向量數量積＝0
可知n與過該點的任一空間曲線的切線都垂直
3樓：
本人不是數學系出身，說乙個在高數里見到的不怎麼嚴謹的描述。
設曲面上一點P0，
1. 取任意經過P0的一條光滑曲線C1，那麼C1方程就是F(x(t)，y(t)，z(t))=0，對t求全導，即dF/dt=0。
即偏導構成的向量（Fx，Fy，Fz）與曲線切向量(x'(t), y'(t), z'(t) )內積為0。那麼向量（Fx，Fy，Fz）即為C1在P0的法向量。
2. 由1中C1的任意性，得證。
4樓：一步數學
1)首先從簡單開始,如果是平面F(x,y)=0
一般形式是Ax+By+C=0
法向量是(A,B).因為任意一點(x0,y0)在平面上,A*x0+B*y0+C=0
那麼A*(x-x0)+B*(y-y0)=0,即向量(A,B)*(x-x0,y-y0)=0
2)對於一般曲面 F(x,y,z,……)=0
兩邊微分(偏導用大寫D),有dF=DF/DX*dx + DF/DY*dy + DF/DZ*dz + ……= d0 = 0
那麼向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) * (dx ,dy ,dz,……)=0
其中向量(dx ,dy ,dz,……)必定在平面上(d是微分嘛,曲面的微小變化量)
所以向量(DF/DX ,DF/DY ,DF/DZ ,……) 是曲面的法向量
5樓：shinbade
在曲面上任一點x，y，z，的附近,取一點 ，該點要求在曲面上。則有展開後有 ，
由於已知
故： （或直接根據 ，利用全微分公式也能得到此式，感謝 @JerryXiong 指出）
可見， 相垂直。
而由於是在曲面上任意取的，故顯然它的極限就表示曲面上的任意切向量。既然 與任意切向量垂直，因而就表示了法向量。
至於直線引數方程（對引數的）三個導數，正好對應了 的極限，如前所述，因而代表的是切向量。
6樓：
對於平面來說，點A處的法向量 的意思是，從平面上取一點B, 則向量AB必定與 垂直（也叫正交），即 .
對於曲面來說，因為A附近的曲面不是「平的」，所以取的B必須「無限接近於」A（換句話說，實際上取不了這種B），也就是 要正交於每乙個切向量 。 是 的極限，也就是 , . 注意到 ,所以三個偏導數構成的向量構成法向量。
上面這段話裡用到了微分，下面以不用微分的方式重新描述一遍法向量。
設 是 到曲面 上的乙個可微對映（什麼是到 上的可微對映？可以理解為 是到 上的可微對映，只不過值域恰好完全落在了曲面 上. 特別地，的三個分量函式都是 的可導函式），且 ,則稱 是 上過A點的一條可微曲線。
此時 在0處的導數 就可以認為是曲面 在A點處的乙個切向量了。
對於向量 ,定義與的數量積（名字我瞎起的，含義為 與切向量的數量積）為 ，其中 等等是在0處的導數.
如果存在某個向量 ，使得對於任意的 ,均成立 =0，則稱 為 在A點處的乙個法向量。
考慮復合函式 ,由 和 的定義知 ,而由復合函式求導方法知 ,特別地，取t=0， 得
因此 是乙個法向量.
7樓：cvgmt
f(x,y,z)=c 表示曲面，這是針對 f 這個三元函式的等值面。
就好像對二元函式 z=f(x,y), z=c 是等高線。
等高線的法向量是梯度 Df= (f_x，f_y)，這是因為梯度 Df 沿著等高線不能有切向的分量(否則，f 沿著這個非零切向分量會變大或變小，與現在是沿著等高線矛盾，粗略地看，例如從 f(x,y)-f(a,b) =Df· (x-a,y-b)+.. 大概知道 Df· (x-a,y-b)=0 ，即 Df 與 (x-a,y-b) 垂直，當 (x-a,y-b) 接近切向也如此)
於是，Df 只能垂直等高線的切向量，也就是 Df 與法向量平行。
等值面同理，梯度 Df=(f_x,f_y,f_z) 一定不能在 f 的等值面上有切分量，於是只能垂直 f 的等值面。
嚴格的證明就是多元復合函式的鏈式法則，等值面方程求微分。
8樓：tetradecane
tetradecane：形象理解「梯度」與「法向量」的關係
原回答：
普通方程和引數方程是不同的描述方式，不能一概而論。
我們做乙個推理。三維空間曲面z=f(x, y)的梯度向量是▽z=(z偏x, z偏y)，意義為函式值z增長最快的方向。因此二維曲線f(x, y)=0同樣求梯度向量(f偏x, f偏y)是曲線的法向量（把這個二維曲線看作是三維曲面用水平面截出的等高線，這樣三維曲面的梯度正好就是二維曲線的法向方向）。
二維曲線的引數方程是x=a(t), y=b(t). 導數的定義是dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)，所以切向量可以是(dy/dt, dx/dt).
③合併來看：
引數方程裡面有乙個引數t，導數是x與y針對這個t進行的，匯出來的結果是微分dx與dy，(dx, dy)正是切向量。
普通方程裡面沒有這個引數t，只能把等式的一端處理為0，然後把這個0變成新乙個維度z求梯度，導數是z針對x與y進行的（與參方求導的物件不同）。偏匯出來的梯度是z對x與y的敏感性，即最大坡度方向，投影到水平面上就是法向量。
④補充：
普通方程求切向量，可以使用隱函式求導；引數方程求法向量，要麼轉為普通方程求梯度，要麼方向向量求垂直。
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