1樓：李歸農
我多年前在人人上提到過，Lagrangian correspondence在Fourier integral operator的研究中有用。在理想情況下，(generalized) Lagrangian correspondence定義了所有辛流形構成的category之間的morphisms，又因為可以定義它們的Floer cohomology（稱為為quilted Floer cohomology），所以所有的辛流形構成2-category。同時，兩個辛流形之間的(generalized) Lagrangian correspondence也能induce Fukaya category之間的 -functor。
它們可以視為代數幾何上motive理論涉及到的category of correspondences在辛幾何上的模擬。
考慮immersed Lagrangian correspondence ，其中 和 是smooth manifold，假設 是away from 和 的zero section的，並且invariant under scaling in fibers（即 是conic Lagrangian）。對應於 有一類Fourier integral operators ，這些運算元依賴於real parameter 1/2" eeimg="1"/>，並且把 上的光滑函式映到 上的廣義函式。假設 ，而 ，則
假如 和 是兩個Lagrangian correspondence，並且假設 滿足比較好的性質，從而使這兩個Lagrangian correspondence composable，那麼
據此我們可以定義Hormander category，它的objects是全體smooth compact manifolds，而morphism是sequence of pairs ，其中 （考慮sequence是為了克服intersection不好的情況下，morphism之間不能compose的缺陷，現在可以考慮formal concatenation作為composition，當然，現在要mod out一些equivalence relation才得到真正的morphism space）。Hormander category中的morphism給出了Fourier integral operator的推廣。
熟悉辛幾何的人都知道，上面對Fourier integral operator的推廣其實只是Lagrangian correspondence的quantization，見
[math/0010059] Introduction to Symplectic Field Theory
的Section 2。
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