1樓：
我來亂答一通（Teichmuller空間我不會所以不說）。
感覺微分幾何上要研究模空間（Moduli space）技術上比代數幾何上更加麻煩。一般來講我們考慮的是乙個PDE的解空間，特別的考慮比如穩定全純對映模空間（Moduli of stable maps）就相當於解乙個一階橢圓PDE。我聽說分析上的辦法主要還是在橢圓運算元滿足橫截性（transversality）的情況下得到模空間是乙個（帶邊）流形，或者有時候得到乙個軌形（orbifold）。
如果院方稱不滿足橫截形就需要對方程加引數做擾動，得到對於一般的（generic）引數選取都有橫截性。然後再需要得到擾動後的解空間和原來的解空間之間的關係，比如配邊（cobordant）之類的。這樣微分幾何學家就可以研究流形或者軌形了。
那至於像Gromov-Witten這樣，賦值對映（evaluation map）的橫截性有本質障礙的情形，代數幾何裡面有比較好的處理方法（Berhrend-Fantechi或者Li-Tian的方案），但微分幾何上就比較災難了。Gromov-Witten以及Floer理論相關工作的確是有人做的，比如最早Fukaya-Ono的Kuranishi structure的方案，以及後來FOOO擴寫的相對更完善的版本。Hofer等學者似乎也在此方面有工作（另一種方案）但我完全不清楚情況。
這一領域裡還有幾波研究者也在做。不過目前為止，Kuranishi structure的工作應該還尚未得到絕對多數的學者的認可。
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