1樓：ZS Chen
證明沒有錯, 但是寫的非常簡短粗糙. 作者在前面定義了 . 這個定義的乙個顯然的直接推論就是:
如果 , 那麼對於 , . 然而如果 , 不一定等於 . 這是因為某個 有可能是 或者有可能某個 是 .
例如: , , 那麼截圖中的Lemma想要展示的就是在 時, 的乙個必要條件. 出於方便起見, 作者還規定了
所以我們需要證明的就是如下命題: 如果 , 則 . 我麼可以通過induction on 來證明.
也就是說, 我們要證明的是, 對於任意m, 對於任意k, 我們都有: 如果 , 則 .
Base Case: 如果 , 並且 , 那麼根據上面的方便規定, .
Inductive Step:
我們的inductive hypothesis是: 如果 , 則 . 我們要證明的是: 如果 , 則 . 所以我們假設 . 我們現在需要展示 .
根據定義, , . 所以 (這是因為對於ordered pairs來說, 當且僅當 ). 此時我們已經滿足了inductive hypothesis的前件, 所以我們可以得到 .
通過歸納法原理, 原命題對所有自然數m都成立. 並且, 因為我們在證明中選取的是任意的k, 所以原命題對任意自然數k都成立. 所以原命題得證.
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