1樓：李萌萌
發現回答比想象的少，可能是因為 @吳育昕 的答案已經一語中的了。所以，我下面寫的內容就算是對他答案的補充和說明啦（面向仍不是很懂這個問題的童鞋們）。我會再深入些，盡量細緻而且徹底地把……整個問題……解釋一下（其實乙個朋友問過我，掌握一些數理邏輯的知識對於學習基礎數學有直接的用處嗎？
我當時就舉了這個問題作為栗子。）不理解簡潔版本的答案的童鞋可以自己努力想想或讀下面長長的答案，然後，希望你能理解~
強迫症非要打一條昏割線
邏輯蘊涵是解釋這個問題必要的數理邏輯的基礎，先回顧一下~（可選擇食用）
稱作「蘊涵」或「如果，那麼」。其真值表如下：
關於邏輯蘊涵的一切資訊全部寫在真值表中了。我們看到 ，當前件為假時，命題一定為真，這一點有時候會有點兒不好理解。比如說乙個日常的命題，「如果薰醬最後沒有死掉，那麼地球是圓的。
」這個命題聽著毫無意義，好像無所謂真假。而因為它的前件為假的/(ㄒoㄒ)/~~，根據真值表，我們仍可以說它為真命題。
然而對於乙個數學命題來說，這樣規定的好處在於，比如說不論取什麼實數，命題「如果，那麼」是符合直覺的，取，和的時候，（前件，後件）的真值分別為，這時我們始終期待它為真命題。
下面進入正題吧！
為集合上的乙個關係，稱其為等價關係，如果滿足以下三個性質：
（自反性）
（對稱性）
（傳遞性）
題主給出的錯誤的推理相當於要證明命題「滿足對稱性且滿足傳遞性，則滿足自反性。」，即命題
為真命題。
/*這裡要再說下邏輯的事，
本來的含義是「邏輯蘊涵」，但平時好多人習慣用「推出」這個詞，比如，「由對稱性和傳遞效能不能推出自反性呢？」然後為了解決這個問題呀，我們便從對稱性和傳遞性出發（也就是理所當然地認為已經滿足了對稱性和傳遞性了），努力地從形式上推導出自反性來，這樣便證明了這個命題是真的。想想，我們證明邏輯蘊涵的命題為真時都是這麼做的：
「證明對任意實數，如果，那麼」，我們的證明過程是「由，有，則.」因為當前件為假的時候，邏輯蘊涵一定是真的，所以我們只需默默地認為前件為真，然後嘗試著由它推導出後件即可，這是我們證明的時候再自然不過的思維方式。但切記，蘊涵是真的並不意味著前件一定為真（要回答題主的問題，本來這一句就夠了）
_ 下面繼續。*/
所以說，我們只需要假設滿足對稱性和傳遞性，然後努力地從形式上推導出自反性就行啦。
當命題為真時，在集合中任取兩個元和
當為真時，由真值表可知一定為真。這時再看傳遞性，命題為真，那麼為真，結合和同為真，由真值表可知為真，故在這種情況下滿足自反性。.
當為假時，一定為假，這樣，結合命題為真，我們還是無法判斷的真值。
就是說，我們的假設（滿足對稱性和傳遞性）允許為假這種情況出現。也就是可以出現
的情形。
所以命題「滿足對稱性且滿足傳遞性，則滿足自反性」為假命題。
對稱性是乙個邏輯蘊涵的形式的命題，假設它為真並不意味著它的前件（即）一定為真。問題就出在這裡。（如前面所強調過的，犯這個錯誤是因為我們通常證明邏輯蘊含為真的習慣是只考慮前件為真的情形，從而把「邏輯蘊涵」理解成「推出」。
）用通俗的語言來講，即便滿足對稱性，我們在中任取乙個元，它並不一定在子集裡。再換一種說法，我們在中任取乙個元，並不一定存在使得。那麼，就不能說為真。
就是醬~_(:3 」∠)_
2樓：
集合X，以及其上的二元關係R，若滿足：a∈X，有aRa。則稱二元關係R是自反的，或稱R具有自反性，或稱R為自反關係。
考慮A上的乙個空關係,比如:
此空關係滿足對稱性和傳遞性,就是沒有自反性.
3樓：江公尺約
對於傳統的答案我還是有疑慮。
在X中有x，在Y中有y。將Y中的元素分為兩類，一類等於x，一類不等於x。
設對於Y中等於x的元素，不可能有xRx，因為那樣相當於直接就證明了。
如果再按傳統答案，x與第二類y不存在xRy。那麼x與Y中所有的y都不存在xRy。
這樣x根本就不是R關係的定義域中的元素。
如果可以這麼做的話，那麼所有的等價關係都可以不滿足自反性，因為你總可以找到等價關係定義域之外的乙個元素，說這個元素對於這個等價關係不滿足自反性，因為這個元素在這個等價關係中根本就沒關係。
如果用答案中的例子來說，0根本就不在等價關係R的定義域內，對於等價關係定義域內的任何元素，確實可以得到a*a≠0。
4樓：
對稱性指的是"如果aRb 則 bRa", 但並不代表任意a和b, aRb都成立.
嚴格寫起來是這樣:
由對稱性: aRb -> bRa
由傳遞性: aRb且bRa -> aRa
由上兩式可推出, aRb -> aRa
但自反性的定義是: 任意a, aRa. 這裡推不出自反性除非我們假設: 任意a, 存在b, aRb. 但這個假設是沒有根據的。
集合論裡面看到這個證明，是不是錯的？
ZS Chen 證明沒有錯,但是寫的非常簡短粗糙.作者在前面定義了 這個定義的乙個顯然的直接推論就是 如果 那麼對於 然而如果 不一定等於 這是因為某個 有可能是 或者有可能某個 是 例如 那麼截圖中的Lemma想要展示的就是在 時,的乙個必要條件.出於方便起見,作者還規定了 所以我們需要證明的就是...
分析中的無窮和集合論中的無窮有關係嗎？
個人觀點 如果承認實無窮的話我只想補充一點,是乙個統一的符號其目的是為了與有限數區別,而無窮與無窮並不一定是一樣的,比如 而有一些算術性質 比如dhchen所列出的 是這些無窮所共有的此時可以不加以區分統一寫成 但這並不會對通常的分析帶來太多額外的方便,在代數中這樣的理解可能會更常見也更有用 比如定...
集合論中公理是不是太多了？這麼多公理，這麼多規定，是不是不夠簡潔？
執悲今厄 是的。但是，這已經是目前我們能找到的最好的結果了。不過未來會出現更強的理論，深過集合論的更底層理論，並且屆時也會以更簡潔的形式展示出來。但不是現在。而且，由於不存在萬能的最強理論，因此我們只能一次次尋找更強的理論。但是 而一旦到達那個境界，科技暴漲的程度也將無法想象。 Ember Edis...