1樓：楊樹森
學習線性代數，有一件很重要的事是掌握代數學的基本思想。
首先是一些觀念問題。很多人不喜歡別人講抽象的思想，他們要麼是無知且不努力的，要麼是不希望其他人進步的。我希望讀者看到，看似虛無的思想，確實在學習和應用中起到很大的作用。
其次，為了減少篇幅，接下來我省略一些基礎知識的講解。讀者可以通過我的高等代數系列獲得基礎知識[1]，但是因為這個系列並非面向初學者，所以仍然建議使用教材學習。我推薦的教材是
事實上，雖然學習數學專業的高等代數會顯得十分困難，但是只要能夠掌握代數學的基本思想，就可以從繁多的結論和技巧中解脫出來，反而節省了精力。
我很喜歡的乙個例子是證明任何乙個復方陣相似於上三角形矩陣，因為這個例子不是太過困難，同時使用了代數學中最普遍的思想，子代數的思想和商代數的思想。
代數學是研究代數系統及其上的同態的數學。如何研究代數系統呢？往往是將複雜的代數系統分解為一些簡單的代數系統。
這樣的過程類似於將正整數分解質因數，但是情況沒有這麼簡單。
就拿線性空間來說，設 是乙個 維線性空間， 是 的子空間，是否存在唯一的 的子空間 使得 存在，但是不唯一。因此，我們必須引入商空間。雖然上面的 不唯一，但是它們兩兩同構，而商空間 就是它們的代表。
事實上，任何子空間都存在商空間，是線性空間結構簡單的表現。對於其它代數系統，仍然可以使用類似的研究方法，但是情況會更加複雜。
說完線性空間，再說其上的同態，也就是線性對映。因為 維線性空間的結構是唯一的，所以只需研究線性變換。用子空間的觀點認識線性變換，就要將它限制在不變子空間；用商空間的觀點認識線性變換，就要認識商空間上的誘導變換。
研究矩陣不如研究線性變換。設 是乙個 維線性空間， 是 的乙個基，則 上的每個線性變換 可以在 下表示為乙個 階矩陣 但是這樣還不能體現研究線性變換的好處。
設 是 的另乙個基，從 到 的過渡矩陣是 則 在 下表示為 這說明相似矩陣就是同乙個線性變換在不同基下的矩陣。因此，矩陣的相似標準型問題轉化為線性變換在適當基下表示為最簡矩陣的問題。特徵值成為線性變換的性質，而不是矩陣的性質。
現在我們將剛才提出的問題轉化成線性變換的形式。設 是乙個 維複線性空間，則存在 的乙個基 使得 上的線性變換 在 下的矩陣是上三角形矩陣。
根據代數基本定理， 存在乙個特徵值 設 是 的屬於 的乙個特徵向量，則 於是 是 的乙個不變子空間。
將 擴充為 的乙個基 則 是 的乙個基，記 在 上的誘導變換在 下的矩陣是 則 在 下的矩陣可以表示為
這樣就將問題轉化成 維複線性空間上的線性變換能否表示為上三角形矩陣的問題，說明用數學歸納法可以解決問題。
不使用這樣的方法，理論上也可以解決問題，但是技巧性肯定強多了，會讓你無法理解如何想到那樣的方法。掌握代數學的基本思想，就會讓問題的解決有跡可循。
2樓：吟雪千夏
簡單說下個人理解吧，我自己比較常用的有五種。
這樣可以把一些看起來新奇的問題轉化為我們知道的問題。舉個例子：
例1(CMC.2020) 求所有的 次首一復係數多項式 ，滿足：對 的任一復根 ，都存在首一多項式 ，使得 ，且 的第二項係數相等。
分析這道題乍一看的困難在於，我們並沒有關於第二項係數的現有結論，所以第一眼看起來可能會無從下手。這時候就需要轉化命題了，注意到：
一、求出 ，等價於求出 的所有復根；
二、根據Vieta定理，乙個多項式的第二項係數等於其所有復根之和的相反數。
因此問題就轉化成了：求出所有的 維復陣列，使得從其中任意拿走乙個，都可以將剩下的數分成兩堆，使得它們的和相等。
繼續轉化：對於任意形如 的矩陣，線性方程組 的解的所有分量，就是我們要求的多項式的所有復根。
這樣就把乙個看起來很困難的問題通過幾步轉化，變成了我們熟悉的矩陣問題。
包括但不限於：定理、二級結論、曾經做過的各種題目。例如：
降階公式： (這個經常用來出行列式的問題)；
替換定理：設 線性無關， ，若 ，則用 替換 後得到的新向量組仍線性無關；
同時合同對角化：設 正定， 實對稱，則存在 使得 ， 為對角陣，且對角線上元素為 的特徵值；
矩陣交換性的若干結論：(1) 和任意矩陣可交換的矩陣一定是數量矩陣；
(2) 和對角元互不相同的對角陣可交換的矩陣一定是對角矩陣；
(3) 和形如 ，其中 互不相同的矩陣可交換的矩陣一定是分塊對角矩陣；
(4) 和 可交換的矩陣一定形如 ；
(5) 可交換的矩陣有公共的特徵向量，且可以同時上三角化。
還有很多很多，就不寫在這裡了。
這些二級結論和定理什麼的，如果記準了並且能夠靈活運用，做題會有非常大的幫助。
例2(北京大學2019) 設 ，試證明可以選擇對角陣 ，其對角線元素為 ，其中 0" eeimg="1"/>，使得 。
分析先考慮一維的，那就是乙個數兒嘛。假設是 ，那肯定 至少有乙個不為零。再看看二維的，那就是 。
不難發現，如果先取定了左上角的元素為 ，使其不為零，那麼這個二階矩陣的行列式是 ，相當於是個「一次函式」，肯定至少有乙個值不為零。這就給了我們思路，可以用數學歸納法來做：對於乙個 階矩陣，先把前 個對角元素取定好，再類似論證即可。
有些開放性的問題，我們可以先憑直覺「猜」出答案，再進行驗證。比方說：
例3(CMC.2019) 設 是正定 元實二次型， 是 元實二次型的集合，其中元素 滿足：對任意的 ， 都是恆號二次型，這裡恆號指正定、負定和零。
試證明： 是乙個線性空間，並求其維數。
分析首先， 自己肯定在 裡。那還有沒有別的和 線性無關(不成比例)的二次型在 裡面呢？直覺上是沒有的，用人類最樸素的情感來看，如果不是的倍數，那麼「應該會」總存在乙個 使得 不是恆號的。
據此我們可以猜 是一維的，到這裡就成功了一大半了。
之後證明 就可以了。具體的證明可以用反證法，配合同時合同對角化來完成，直接秒殺。
這種就比較上流了，題目做多了之後，有些題，你一看見馬上就知道它想考什麼，直接看穿出題人的銀行卡密碼。
例4(北師大) 每行元素和為 的非負實矩陣稱為隨機矩陣。設 是 階隨機矩陣，試證明 是 的特徵值，且 的特徵值的模長都不超過 。
分析結論涉及到特徵值模長，並且還給了每行元素的和，很難不聯想到葛氏圓盤定理。
例5(中科院) 設 是可逆線性變換， 可由非零向量 張成，且 。試證明： 可對角化，且特徵根全是單位根。
分析從結論來看，只要證明 的某個冪等於 就可以了。這從 的可逆性結合條件 ，以及 由它們張成，即可得到。
例6設 ，且 ，試證明 。
分析注意到結論在相似關係下不改變，故把其中乙個視作Jordan型考慮即可，由於 多乙個條件，可以考慮把 視作Jordan型。從 可知其屬於零的Jordan塊都是一階的，故可把 設成分塊形式 ，再利用 立即得到結論。
當然那種頂級的題目可能各種方法都要應用，而且有時候需要有本質的創新。
但對於應試來說，我覺得最好的辦法就是多做題，多記結論，到時候見了題自然就有思路了。
有哪些值得推薦的《線性代數》入門書籍？
在遠方 我感覺這個問題的提問特別逗，第一次見，為什麼呢？因為我覺得大部分人，當然也包括我，都是應試教育的信奉者，也不能說是信奉者，而且接受現實，要好好學習，考高分！大部分都是希望多尋求一些方法和經驗來獲取高分，而這個提問著卻希望了解線性代數的前因後果，了解線性代數的現實應用！我感覺這個很高尚 很棒的...
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