1樓：dimaria
無限小數本質是乙個柯西列，實數的準確定義就可以用柯西列來表示，他這個證明實際上就是構造了乙個柯西列這個柯西列就是乙個實數，只不過對於大一的一般水平的學生，根本理解不了實數到底是什麼… 所以只能形式的證明一下。
建議就是跳過這，不去關係實數到底是什麼，把確界原理當做公理。
等到大二大三，再去看看陶哲軒的實分析，從頭在理解一次
2樓：
這是華東師大的《數學分析》寫得很不清楚（甚至是相當混亂）的地方之一。這部分內容直到第四版也沒有改正過來。
一方面，我們可以用戴德金分劃去定義實數，然後定義什麼是「小數」。這種情況下，你可以說「無限小數表示法依賴於戴德金分劃」。
另一方面，我們可以直接從形式上的「小數」出發去定義實數。《數分》的第一章實際上是想用這種方法來定義實數。
書上的「定義1」定義的了實數集的「序」。這本書將這種定義得到的「域」的結構（也就是加減乘除的定義）放在了附錄，並且沒有證明定義的「序」和「域」相容（也就是「有序域」的結構[1]）。非常容易讓人產生誤解的是，附錄II寫的實數定義用的是戴德金分劃，而不是「小數」。
《數分》只在附錄II的最後一節寫了「無限小數的四則運算定義」。這很容易讓人搞不清書上的實數定義用的究竟哪一種方法。
最常見的實數的構造方法有三種。（這三種構造都假設已經定義了有理數集。）除了上面提到的兩種，還有一種是使用有理數的柯西序列。
可以證明，作為具有「最小上界性質」的有序域，這三種方法得到的實數集是等價的。[2]
簡單描述一下用「小數」定義實數的步驟。
定義 為所有滿足下面條件的整數列 的集合：
；對任意 ， ；
最終不全為 。
（注意這裡的「數列」沒有用到任何「實數」的概念。）
2. 集合 上的元素稱為「小數」。
3. 用整數集 上的序 和自然數集上的序定義集合 上的序 。（《數分》裡的定義1說的就是這一步。）
4. 證明 是 上的「全序」，並且具備「最小上界性質」。
5. 任意給定兩個 中的元素 和 ，定義兩個對應的有理數列 和 : 。
對每乙個 ，用有理數集上的加法 得到乙個 上的元素 ，其中 。現在將定義為所有這些元素構成的集合的最小上界（步驟4證明了這樣的元素存在）。
6. 類似地可以定義 上的乘法 。
7. 證明 構成乙個有序域。
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