分數指數冪有實際意義嗎？

1樓：幽靈代筆

為了滿足指數律在有理數內是有效的，數域擴充慣用的把戲。數學家們說，令指數律在有理數上有效，則有 (這個等式的成立建立在指數律成立的基礎上)，強行使在整數上定義的遊戲規則延伸到有理數上，這裡實際上是被數學家重新定義了。這個道理就如負負得正是一樣的道理，它不是必然的，只是基礎設定。

正如朗科在《什麼是數學》裡面所言：

對數學家來說，經過了很長的一段時間才認識到「符號規則」以及負數、分數所服從的其它定義是不能加以「證明」的，它們是我們創造出來的，為的是在保持算數基本規律的條件下使運算能夠自如。能夠並且必須加以證明的僅僅是，在這些定義的基礎上，算數的運算定律是保持不變的

有理數是我們自己的創造，我們可以胡亂地宣布某些規則，如a/b +c/d = (a+c)/(b+d)，但從度量的觀點來看，這是乙個荒謬的結果，這種型別的的規則，雖然在邏輯上是允許的，但將使我們的符號算數變成毫無意義的遊戲。人們要求創造乙個適合度量的工具，在這裡，思維正是順應著這個要求而自由發揮的

2樓：

一開始只有整數，後來擴充套件為有理數，再後來有了實數，複數。。。

一開始只有，後來出現，只是其特例

一開始只有，然後由除法得到，由開方得到，最後得到一種函式發現規律沒有？數學只是一種工具，數學家的作用就是讓這個工具越來越好用。什麼叫越來越好用？

基本的一種思路是推廣，即讓它的覆蓋面更廣，又能保持原來的性質。其實，任何領域裡都有這樣的思路，比如，相對論是牛頓力學的推廣。

用一套規律來解決所有的問題，是所有科學家的夢想。

至於為什麼可以這樣，你可以理解為：定義出乙個新東西，包含原來的用法，然後，證明它也具有原來的性質。